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利用基本不等式abab求最值十大变形技巧

2

ab

本文就利用基本不等式ab(a0,b0)求最值的常见变形技巧作一总结.

2

1.变正

1

例1设x0，则y33x的最大值为__________.

x

点评：如果变量为负，首先化为正，然后再利用基本不等式求最值．

12

练习1若x0，求函数y3x的最大值.

x

2.代入

12

例2已知，则的最小值为__________.

1(m0,n0)mn

mn

点评：整体代换，创造利用不等式的条件，然后再利用基本不等式求最值．

练习2在4()9()1中的两个括号中，分别填上两个正数，使它们的倒数和最小，

就分别填上____和____.

3.乘方

b2

例3设，，且2，求a1b2的最大值.

a0b0a1

2

点评：通过平方变形，创造利用不等式的条件，然后利用基本不等式求最值．

练习3已知正数满足22，求2的最大值，并求此时和的值.

x,y2x3y9x1yxy

4.拆项

例4若不等式对一切正数恒成立，求的最大值.

xya(x22xy)x,ya

1

点评：本题通过拆项，然后创设利用不等式的条件求最值．

1a

练习4已知不等式(xy)()9对任意正实数x,y恒成立，则正实数的最小值为a

xy

________.

5.添项

22

ab

例5设，，，则的最小值为__________.

0x1a0b0

x1x

点评：通过添项，然后创设利用不等式的条件求最值，添项时一定要注意保持恒等

练习5函数的图象恒过定点，若点在直线mxny10上，其中

ylog(x3)1AA

a

12

mn0，则的最小值为_________.

mn

6.换元

例6已知，，则aa的最小值为_________.

a0b0y

a2bab

点评通过换元，然后创设利用不等式的条件求最值，常见的换元有三角换元、代数换元等．

(x5)(x2)

练习6设x1，求函数y的最值.

x1

7.消元

ab

例7若x,y0，且