北师大版九年级数学下册练习：小专题(一)　求锐角三角函数值的常用方法.docx

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小专题(一)求锐角三角函数值的常用方法

方法1定义法

直接根据定义求三角函数值,首先求出相应边的长度,然后代入三角函数公式计算即可.

1.如下图,在△ABC中,∠C＝90°,sinA＝eq\f(4,5),AB＝15,求△ABC的周长和tanA的值.

解：∵sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5),AB＝15,

∴BC＝eq\f(4,5)AB＝eq\f(4,5)×15＝12.

∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝9.

∴△ABC的周长为9＋12＋15＝36,

tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(12,9)＝eq\f(4,3).

方法2设参数法

假设两边的比值或一个三角函数值,而不能直接求出三角函数相应边的长,那么可采用设参数的方法,先用参数表示出三角函数相应边的长,再根据三角函数公式计算它们的比值,即可得出三角函数值.

2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AD⊥BC于点D.假设BD∶CD＝3∶2,那么tanB＝(D)

A.eq\f(3,2)B.eq\f(2,3)

C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(\r(6),3)

3.(2019·泰安)如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A′处.假设EA′的延长线恰好过点C,那么sin∠ABE的值为eq\f(\r(10),10).

4.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠BAC的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF).

(1)求证：△ACE≌△AFE；

(2)求tan∠CAE的值.

解：(1)证明：∵AE是∠BAC的平分线,EC⊥AC,EF⊥AF,

∴CE＝EF.

在Rt△ACE和Rt△AFE中,

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝FE,,AE＝AE,))

∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL).

(2)由(1)可知△ACE≌△AFE,

∴AC＝AF.

设BF＝m,那么AC＝AF＝2m,∴AB＝3m.

∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(9m2－4m2)＝eq\r(5)m.

∴在Rt△ABC中,tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(2m,\r(5)m)＝eq\f(2,\r(5)).

在Rt△EFB中,EF＝BF·tanB＝eq\f(2m,\r(5)),

∴CE＝EF＝eq\f(2m,\r(5)).

在Rt△ACE中,tan∠CAE＝eq\f(CE,AC)＝eq\f(\f(2m,\r(5)),2m)＝eq\f(\r(5),5),

∴tan∠CAE＝eq\f(\r(5),5).

方法3等角转换法

假设要求的角的三角函数值不容易求出,且这个角可以转化为其他角,那么可以直接求转化后的角的三角函数值.

5.如图,A,B,C三点在正方形网格线的交点处,假设将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′,那么tanB′的值为(B)

A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)

C.eq\f(1,4)D.eq\f(\r(2),4)

6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝8,BC＝6,CD⊥AB,垂足为D,那么tan∠BCD的值是eq\f(3,4).

7.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处,EF为折痕.假设AE＝3,那么sin∠BFD的值为eq\f(1,3).

8.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,连接DE,过点C作CF⊥DE于F,过点A作AG∥CF交DE于点G.

(1)求证：△DCF≌△ADG；

(2)假设点E是AB的中点,设∠DCF＝α,求sinα的值.

解：(1)证明：在正方形ABCD中,AD＝DC,∠ADC＝90°,

∵CF⊥DE,

∴∠CFD＝∠CFG＝90°.

∵AG∥CF,

∴∠AGD＝∠CFG＝90°.

∴∠AGD＝∠CFD.

又∵∠ADG＋∠CDE＝∠ADC＝90°,

∠DCF＋∠C