山东省武城县第二中学高中数学 第三章 不等式专题训练（答案不全）新人教B版必修5.doc

不等式专题训练

一关于不等式性质的问题：

不等式的性质包括四个性质定理及五个推论，它是解不等式和证明不等式的主要依据

1对于实数，下列结论中正确的是（）

A若，则 B若，则

C若，则 D若，，则

2下面四个条件中，使成立的条件是（）

A B C D

3如果，那么下列不等式成立的是（）

A B C D

4如果实数满足且，那么下列选项中不一定成立的是（）

A B C D

二关于利用不等式性质求取值范围问题：

例1已知函数，，，求的取值范围

解：

令可得

即，∴

①+②得，即

仿照上例解以下几题

1（青岛模拟）已知，，求的取值范围

2（辽宁高考）已知且，求取值范围

三关于均值不等式条件考察问题（一正，二定，三相等）

1下列结论正确的是（）

A当且时， B当时，

C当时，最小值是2 D当时，无最大值

2下列函数中，最小值为4的是（）

A B

C D

3下列函数中，最小值为2的是（）

A B

C D

4下列说法中，正确的是

①的最小值为；②最小值为2；③的最小值为2

四有关利用均值不等式求分式最值问题

例1求函数的最小值

（可分离变量化为型函数，利用均值不等式求解）

解：令，则，所以

即

当且仅当，即，即时函数取最小值3

练习：

1当时，求最小值

2求函数最小值及相应值

3求函数最大值及相应值

4求最大值及相应值

5求最小值及相应值

6已知，求最小值及相应值

五有关给定一等式条件，求最值问题：

例1已知且，求的最小值

解法一：∵，又，∴

解法二：（代换法）

解法三：（乘1法）

解法四：（减元法），则，

∵，∴

练习：

1且，求最小值

2已知正整数满足，当取得最小值时，试求实数对的取值

3若，求的最小值

4若且，求的最小值

5若正数满足，求最小值

6已知，

求证：①；②

例2已知且，求的最大值及相应的值

解法一：

当即取“＝”

解法二：配凑法

当且仅当，即，时取“＝”

解法三：消元法由，得

当，即时，取“＝”，此时

练习：

1若，求最大值

2点在直线上运动，求它的横纵坐标之积的最大值以及此时的坐标

3若且，求的取值范围

4中，已知，°，求的最大值

5已知，求的最小值

6已知，①求最小值；②求的最小值

六有关运用均值不等式解应用题问题

例：如下图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有墙（墙足够长），其他各面用钢筋网围成

（1）现有可围36m长的钢筋网材料，每间虎笼长宽各设计多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24m2

练习：

1（北京高考）某车间分批生产某种产品，每批生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天仓储费用为1元，为使平均到每件产品生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）

A60件 B80件 C100件 D120件

2（辽宁高考）一批货物随17列货车从A市以km/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400km，为了安全，两车之间距离不得小于km，那么这批货物全部到达B市，最快需要（）

A6h B8h C10h D12h

3某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2024平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单元：元）

（1）写出楼房平均综合费用关于建造层数的函数关系式；

（2）该楼房应建多少层时，可使楼房每平方米平均综合费用最少；最少值是多少？

（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝）

4设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面宽与高比为，画面的上下各留8cm空白，左右各留5cm空白，问怎样确定画面高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

七有关分式不等式的解法问题

，

，

练习：

1不等式的集为（）

A B

C D

2的解集为

3的解集为

4不等式的解集为

5不等式的解集为

八三个“二次”关系的应用

例：若不等式的解集为，

求不等式的解集

练习：

1不等式的解集为，那么的值是

2若不等式的解集为，则的值为

3若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是

九有关不等式恒成立问题

已知某不等式在某区间上恒成立，求其中参数范围的问题称为恒成立问题。对恒成立问题往往从以下几个方面入手：（1）结合二次函数图象和性质用判别式法；（2）从函数最值入手，如大于零恒成立可转化为最小值大于零；（3）能分离变量尽量把参数和变量分离出来；（4）数形结合，结合图形，从整体上把握图形

例1若关于的不等式在R上恒成立，求实数的取值范围

解：当时，解集不为R舍去

当时，

综上，的取值范围是

练习：

1关