山东省济宁市学而优教育咨询高中数学 123空间几何体的直观图学案 新人教版必修2.doc

山东省济宁市学而优教育咨询高中数学必修二学案：123空间几何体的直观图

[学习要求]

1掌握斜二测画法的作图规则；

2会用斜二测画法画出简单几何体的直观图

[学法指导]

通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图，提高空间想象力与直观感受力，体会对比在学习中的作用，感受几何作图在生产活动中的应用

图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片的研究可以了解空间图形的一些性质和特征

三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三视图的直观性较差，因此有必要绘制空间图形的直观图一般采用中心投影或平行投影

中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复杂，又不易度量

立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫斜二测画法

投影规律

平行性不变，但形状长度夹角会改变；

平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变；

在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变

知识点

1用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：

(1)在已知图形中取互相的x轴和y轴，两轴相交于点O画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点

O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成于x′轴或y′轴的线段

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段，长度为原来的

2立体图形的直观图的画法

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′且平行于O′z的线段长度其他同平面图形的画法

一水平放置的平面图形的画法

用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图，要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法

问题1把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图比较两图，其中哪些线段之间的位置关系数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？

答由矩形到平行四边形长没变，宽变小，直角变成了锐角或钝角

问题2把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？

答发生变化的是高变为原来的一半，直角变成了45°角，相应的腰也发生了变化

问题3用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图。

答画法：(1)如图1，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O在图2中，画相应的x′和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°

(2)在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝eq\f(1,2)MN以点N′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点，画E′F′平行于x′轴，并且等于EF

(3)连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′(图3)

小结上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法，斜二测画法的基本步骤和规则：

(1)建坐标系，定水平面；

(2)与坐标轴平行的线段保持平行；

(3)水平线段等长，竖直线段减半

注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性

(2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置

问题4斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？画出水平放置的圆的直观图

答看起来像椭圆画法如下图：

说明：关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画法在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版

例1用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图

解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴

(2)画对应的x′轴y′轴，使∠x′O′y′＝45°

在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝eq\f(1,2)OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示

小结此类问题的解题步骤是：建系定点连线成图要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便

例2将例1中三角形放置成如图所示，则直观图与例1中的还一样吗？

解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴

(2)画对应的x′轴y′轴，使∠x′O′y′＝45°

在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝

eq\f(1,2)OC＝1cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示

显然与例1