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三角函数与三角恒等变换复习

目录

contents

三角函数基本概念

三角函数的图像与性质

两角和与差的三角函数

三角函数的恒等变换

反三角函数及其性质

三角函数的应用

01

三角函数基本概念

包括正角、负角、零角和象限角，以及轴线角和中心角。

任意角

具有相同终边的角，可以用加上或减去360°的整数倍来表示。

终边相同的角

弧度制的定义

以角的顶点为圆心，以任意长度为半径画弧，与正x轴所夹的角即为该角的弧度数。

弧度与角度的换算

1弧度约等于57.30°，反之亦然。

正弦、余弦、正切等三角函数是根据任意角的三角比来定义的。

周期性、奇偶性、单调性、有界性等。

三角函数的基本性质

三角函数的定义

02

三角函数的图像与性质

正弦函数的周期为$2pi$，即对于任意实数$k$，有$sin(x+2kpi)=sinx$。

正弦函数的周期性

余弦函数的周期性

正切函数的周期性

余弦函数的周期也为$2pi$，即对于任意实数$k$，有$cos(x+2kpi)=cosx$。

正切函数的周期为$pi$，即对于任意实数$k$，有$tan(x+kpi)=tanx$。

03

02

01

余弦函数的单调性

余弦函数在区间$(2kpi-pi,2kpi)$内单调递增，在区间$(2kpi,2kpi+pi)$内单调递减。

正弦函数的单调性

正弦函数在区间$(2kpi-frac{pi}{2},2kpi+frac{pi}{2})$内单调递增，在区间$(2kpi+frac{pi}{2},2kpi+frac{3pi}{2})$内单调递减。

正切函数的单调性

正切函数在区间$(kpi-frac{pi}{2},kpi+frac{pi}{2})$内单调递增，无单调递减区间。

03

两角和与差的三角函数

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

两角和的余弦公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

两角和的正弦公式

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

两角和的正切公式

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

两角差的正弦公式

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

两角差的余弦公式

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

两角差的正切公式

cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α

倍角余弦公式

sin2α=2sinαcosα

倍角正弦公式

tan2α=(2tanα)/(1-tan²α)

倍角正切公式

cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

半角余弦公式

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

半角正弦公式

tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]

半角正切公式

04

三角函数的恒等变换

三角函数的和差化积公式是三角函数恒等变换中的基础公式，用于将两角差的余弦、正弦、余切等函数转化为和的函数形式。

总结词

三角函数的和差化积公式包括cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB和cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)等，这些公式在解决三角函数问题时非常有用，可以将复杂的表达式化简为更简单的形式。

详细描述

总结词

三角函数的积化和差公式用于将两角之积的函数转化为和的函数形式，是解决三角函数问题的重要工具。

详细描述

三角函数的积化和差公式包括sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB和tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)等，这些公式可以将两个三角函数的乘积转化为和的形式，简化计算过程。

三角函数的倍角公式用于将一个角的函数值转化为两个相同角之和或之差的函数值，是解决三角函数问题的重要公式。

总结词

三角函数的倍角公式包括sin(2A)=2sinAcosA、cos(2A)=cos²A-sin²A和tan(2A)=(2tanA)/(1-tan²A)等，这些公式可以将一个角的函数值转化为两个相同角之和或之差的函数值，方便计算和证明。

详细描述

05

反三角函数及其性质

反正弦函数

01

定义为y=arcsin(x)，其值域为-π/2≤y≤π/2，对应的定义域为-1≤x≤1。

反余弦函数

02

定义为y=arccos(x)，其值域为0≤y≤π，对应的定义域为-1≤x≤1。

反