高中数学-解三角形常考考点分类.doc

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大一轮复习解三角形

☆☆☆考纲考题考情☆☆☆

考纲要求

真题举例

命题角度

1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

2018，全国卷Ⅲ，4，15,10分(解三角形，零点)

2017，全国卷Ⅰ，17,12分(正、余弦定理，三角形周长)

2017，全国卷Ⅱ，17,12分(解三角形，求边长)

2017，全国卷Ⅲ，17,12分(求边长，面积)

2016，全国卷Ⅰ，17,12分(正、余弦定理，三角形面积)

2016，全国卷Ⅱ，13,5分(解三角形)

2016，全国卷Ⅲ，8,5分(解三角形)

2015，全国卷Ⅰ，16,5分(解三角形，取值范围)

2015，全国卷Ⅱ，17,12分(解三角形，三角形面积，恒等变换)

2014，全国卷Ⅰ，16,5分(解三角形，三角形面积，最值)

命题形式多种多样，选择题、填空题常常出一些简单的边、角、面积计算或测量问题，属于容易题，解答题常常结合三角恒等变换公式、三角函数的图象和性质进行考查，具有一定的综合性，属于中档题。

1．正弦定理

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R,其中2R为△ABC外接圆直径。

变式：

=1\*GB3①化角为边：，，；

=2\*GB3②化边为角：，，；

=3\*GB3③；

=4\*GB3④=2R

2．余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。

变式：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)。

sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcos

注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：

余弦定理主要解决的问题：

=1\*GB3①已知两边和夹角，求其余的量；=2\*GB3②已知三边求角

如何判断三角形的形状：判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理(余弦定理)实施边、角转换。例如当a2＋b2c2时判断三角形的形状，由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)0，得∠C为钝角，则三角形为钝角三角形。

设、、是的角、、的对边，则：

=1\*GB3①若，则；

=2\*GB3②若，则；

=3\*GB3③若，则．

3．解三角形：在一个三角形中，边和角共有6个量，已知三个量(其中至少有一边)就可解三角形。

(1)已知三边a，b，c。运用余弦定理可求三角A，B，C。

(2)已知两边a，b及夹角C。运用余弦定理可求第三边c。

(3)已知两边a，b及一边对角A。先用正弦定理，求sinB，sinB＝eq\f(bsinA,a)。

①A为锐角时，

若absinA，无解；若a＝bsinA，一解；若bsinAab，两解；若a≥b，一解。

②A为直角或钝角时，

若a≤b，无解；若ab，一解。

(4)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边。

4．三角形常用面积公式

(1)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R)。(2)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)。

5、相关知识：

(1)同角三角函数的基本关系:平方关系：sin2α＋cos2α＝1;商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.

(2)三角函数的诱导公式

（概括为“奇变偶不变，符号看象限”）

诱导公式一：

（其中：）

诱导公式二：

（其中：）

诱导公式三：

（其中：）

诱导公式四：

（其中：），

注意：sinA＝sinB，因为所以

所以即A＝B或

诱导公式五：

（其中：）

诱导公式六：

（其中：）

(3)三角形中的基本关系：

(4)和角与差角公式

;;

.

(5)二倍角公式

,

.

(6)辅助角公式（化一公式）

其中

6、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

(1)设，则：

⑴；⑵；⑶

⑷

(2)设，则：.

(3)两向量的夹角公式

7、三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点；

重心——三角形三条中线的相交于一点；

外心——三角形三边垂直平分线相交于一点；

内心——三角形三内角的平分线相交于一点；

旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的