重难点45 离散型随机变量及其分布列十四大题型【2024高考数学二轮复习题型突破】（解析版）.docxVIP

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重难点专题45离散型随机变量及其分布列十四大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1普通型 1

题型2竞赛（游戏）型 7

题型3一人比赛（测试）型 18

题型4两人比赛赛制型 26

题型5两队比赛型 36

题型6三人比赛型 45

题型7摸球型 53

题型8药物相关型 62

题型9商品利润型 70

题型10频率分布图型 77

题型11分布表型 85

题型12折线图型 97

题型13导数型 106

题型14数列型 116

题型1普通型

【例题1】（2023·全国·高三专题练习）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和数学期望.

【答案】分布列见解析，E(ξ)=

【分析】求出ξ的的可能取值及其对应的概率，即可求出随机变量ξ的分布列，再由期望公式求解即可得出答案.

【详解】由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，

P(ξ=0)=C73

P(ξ=2)=C7

所以，随机变量ξ的分布列如下表所示：

ξ

0

1

2

3

P

7

21

7

1

所以E(ξ)=0×7

【变式1-1】1.（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）某职称考试有A，B两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率均为12；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率均为23；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为

(1)求该考生两年内可获得该职称的概率；

(2)设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)53

(2)答案见解析

【分析】（1）设该考生两年内可获得该职称的事件为A，计算概率得到答案.

（2）X的可能取值为2，3，4，计算概率得到分布列，再计算数学期望即可.

【详解】（1）设该考生两年内可获得该职称的事件为A，

PA

（2）X的可能取值为2，3，4.

PX=2

PX=3

PX=4

X的分布列为：

X

2

3

4

p

1

1

1

数学期望为EX

【变式1-1】2.（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮投中的概率均为12

(1)求该同学进行三次投篮恰好有两次投中的概率；

(2)若该同学进行三次投篮，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，记X为三次总得分，求X的分布列及数学期望．

【答案】(1)3

(2)分布列见解析，2

【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算即可；

（2）应用独立事件概率乘积公式结合对立事件的概率公式计算概率，写出分布列计算数学期望即得；

【详解】（1）记该同学进行三次投篮恰好有两次投中为事件“B”，

则PB

（2）设事件A1

根据题意可知X=0,1,2,3,4.

故P(X=0)=PA

P(X=1)=PA

P(X=2)=PA

PX=4

所以于X的分布列为：

X

0

1

2

3

4

P

1

1

1

1

1

X的数学期望E(X)=0×

【变式1-1】3.（2023上·湖南邵阳·高三统考期中）某公司有A，B，C型三辆新能源电动汽车参加阳光保险，每辆车需要向阳光保险缴纳800元的保险金，若在一年内出现事故每辆车可赔8000元的赔偿金（假设每辆车每年最多赔偿一次）.设A,B,C型三辆车一年内发生事故的概率分别为110，111，

(1)求该公司获赔的概率；

(2)设获赔金额为X，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)1

(2)分布列见解析，72400

【分析】（1）由每辆车发生事故相互独立，可通过对立事件的概率计算即可;

（2）由题意可得获赔金额可能为0，8000，16000，24000元，分别计算出概率，列出分布列，求出期望即可.

【详解】（1）设该公司获赔的概率为PD

则PD