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2024年闽南师范大学615分析与代数考研精品资料之华东师范大学

《数学分析》考研核心题库之计算题精编

2024年闽南师范大学615分析与代数考研精品资料

一、不定积分

1.计算不定积分$\int\frac{x^2+2x+3}{x+1}dx$。

解:首先将被积函数化简为

$\frac{x^2+2x+3}{x+1}=x+1+\frac{2}{x+1}$。

对于$x+1$，可以直接求积分得到$\int(x+1)

dx=\frac{1}{2}x^2+x+C_1$。

对于$\frac{2}{x+1}$，可以通过换元法，令$u=x+1$，则$x=u-1$，

$du=dx$

所以$\int\frac{2}{x+1}dx=\int\frac{2}{u}du=2\ln，u，

+C_2=2\ln，x+1，+C_2$。

因此，原积分的结果为$\int\frac{x^2+2x+3}{x+1}

dx=\frac{1}{2}x^2+x+2\ln，x+1，+C$，其中$C=C_1+C_2$。

2.计算不定积分$\int\frac{dx}{x^4+1}$。

解:首先将被积函数分解为部分分式，由于$x^4+1$的因式为

$x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$

可以将被积函数表示为

$\frac{1}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2-

\sqrt{2}x+1}$。

对于第一部分，分母为$x^2+\sqrt{2}x+1$，可以通过配方的方式，

令$u=x+\frac{1}{\sqrt{2}}$

则$x=u-\frac{1}{\sqrt{2}}$，$du=dx$，将$x$用$u$表示后，可以

得到

$\frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}=\frac{A(u-

\frac{1}{\sqrt{2}})+B}{u^2+1}$。

对于第二部分，分母为$x^2-\sqrt{2}x+1$，同样可以通过配方的方

式，令$v=x-\frac{1}{\sqrt{2}}$

则$x=v+\frac{1}{\sqrt{2}}$，$dv=dx$，将$x$用$v$表示后，可以

得到

$\frac{Cx+D}{x^2-

\sqrt{2}x+1}=\frac{C(v+\frac{1}{\sqrt{2}})+D}{v^2+1}$。

因此，原积分可以表示为$\int

\frac{1}{x^4+1}dx=\int(\frac{A(u-

\frac{1}{\sqrt{2}})+B}{u^2+1}+\frac{C(v+\frac{1}{\sqrt{2}})+D}{v

^2+1})dx$。

通过计算分子的系数，可以得到$A+C=0$，$Au-B+Cv+D=0$，解得$A=-

C$，$B=D$。

所以，原积分可以化简为$\int(\frac{A(u-

\frac{1}{\sqrt{2}})+B}{u^2+1}+\frac{A(v+\frac{1}{\sqrt{2}})+B}{v

^2+1})dx=

A(\arctanu+\arctanv)+B(\ln(u^2+1)+\ln(v^2+1))+C$。

将$u$和$v$用$x$表示回去，即可得到最终的结果$\int

\frac{dx}{x^4+1}=A(\arctan

(x+\frac{1}{\sqrt{2}}))+B(\ln((x+\frac{1}{\sqrt{2}})^2+1))+C$

二、二重积分

1.计算二重积分$\iint_D(x+y)d\sigma$，其中$D$为由直线

$y=2x$，$y=x+2$，$y=4$所围成的区域。

解:首先观察区域$D$的图形，可以将其分成三个部分，根据图像可

知，当$x\in[0,\frac{2}{3}]$时

$y$的取值范围为$[2x,x+2]$；当

$x\in[\frac{2}{3},\frac{4}{3}]$时，$y$的取值范围为$[2x,4]$；

当$x\in[\frac{4}{3},2]$时，$y$的取值范围为$[4,x+2]$。

因此，二重积分可以表示为$\iint_D(x+y)

d\sigma=\int_0^{\frac{2}{3}}\int_{2