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由以上两个例题可看出两个特殊向量组具备的性质：
(1)含有零向量的向量组必线性相关；
(2)任何一个单位向量组必线性无关.
判断一般的向量组α1，α2，…，αm的线性相关性的基
本方法和步骤如下：
①假设存在一组数k1，k2，…，km，并使得k1α1+k2α2+…
+kmαm=0成立.
②运用齐次线性方程组系数矩阵的秩与方程组解的关系，判断出以k1，k2，…，km为未知数的齐次线性方程组是否有非零解.
③如果方程组有非零解，则α1，α2，…，αm线性相关；如果方程组只有零解，则α1，α2，…，αm线性无关.例7讨论下列向量组的线性相关性:
(1)α1=(111)，α2=(123)，α3=136);
(2)α1=(10－12)，α2=(－1－12－4)，α3=(23－510).
解(1)因为r(A)=3=m，所以向量组α1，α2，α3线性无关.(2)因为r(B)=2m，所以向量组α1，α2，α3线性相关.6.8.3向量组的秩
若给定一个n维向量组，在讨论其线性与否时，如何找出尽可能少的向量去表示全体向量，是本节要讨论的主要问题.
定义6.23若向量组α1，α2，…，αm中的部分向量组α1，α2，…，αr(r≤m)满足：
(1)α1，α2，…，αr线性无关；
(2)向量组α1，α2，…，αm中的任意一个向量都可以由α1，α2，…，αr线性表示，则称部分向量组α1，α2，…，αr为向量组α1，α2，…，αm的一个极大无关组.
由极大无关组的定义可知，任意一个不全为零的向量组必有极大无关组，而线性无关的向量组的极大无关组就是向量组本身.
特别地，n维单位向量组ε1=(10…0)，ε2=(01…0)，
…，εn=(00…1)是线性无关的，这个单位向量组本身就是一个极大无关组.例8设向量组α1=(12－1),α2=(2－31)，α3=(41－1)，不难验证α1，α2，α3是线性相关的，但α1，α2线性无关，且α1，α2，α3都可由α1，α2线性表示.
由于α1=1α1+0α2，α2=0α1+1α2，α3=2α1+α2，所以α1，α2为α1，α2，α3的一个极大无关组.此外，同理可验证α2与α3，α1与α3也是α1，α2，α3的极大无关组.
由例8看到一个向量组的极大无关组可能不止一个，但是每个极大无关组中所含向量的个数却是相同的.这反映了向量组的一个重要内在性质，下面引入一个概念.定义6.24向量组α1，α2，…，αm的极大无关组所含
向量的个数称为向量组的秩，记作r(α1，α2，…，αm).
例8中向量组的秩为r(α1，α2，α3)=2.n维单位向量组ε1，ε2，…，εn的秩为r(ε1，ε2，…，εn)=n.
特别地，若一个向量组中只含零向量，则规定它的秩为零.
那么，对于一个向量组，如何求它的秩和极大无关组呢？
定理6.13m×n矩阵A的秩为r的充分必要条件是矩阵A的行(或列)向量组的秩为r.
定理6.14矩阵A的秩=矩阵A列向量组的秩=矩阵A行向量组的秩.由这个定理，可以把求向量组的秩和极大无关组的问题转化为对矩阵的研究，即把这些向量组作为矩阵的列(或行)构成一个矩阵，用初等行变换将其化为阶梯形矩阵，则非零行的个数就是向量组的秩，且非零行的首个非零元素所在的列序号对应原来向量组中的向量就构成了极大无关组.
例9设向量组求向量组的秩及其一个极大无关组.解把向量组α1，α2，α3，α4作为矩阵A的列构成矩阵，再用初等行变换把矩阵A化为阶梯形矩阵:所以r(α1，α2，α3，α4)=3，且α1，α2，α4是其中一个极大无关组.例10设向量组α1=(1－124)，α2=(0312)，α3=(30714)，α4=(2156)，α5=(1－120)，求向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表出.
解方法1:把向量α1，α2，α3，α4，α5看作一个矩阵A的列向量组，用初等行变换把A化成行最简阶梯形矩阵，即由上面最后一个行最简阶梯形矩阵可知，r(α1，α2，α3，α4，α5)=3，向量组α1，α2，α4就是原向量组的一个极大无关组，且α3=3α1+α2，α5=－α1－α2+α4.
方法2:把向量α1，α2，α3，α4，α5看作一个矩阵A的行向量组，再用初等行变换把A化成行最简阶梯形矩阵，即所以r(α1，α2，α3
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