组合07_五中08_构造论证[一].docVIP

五年级中册第8讲组合问题第07讲

构造论证[一]

知识概述

各种形式的构造问题．解决这类问题时，一般只需设计出一种满足要求的特殊方案，但是有时需要论证方案的存在性与最优性；设计方案时经常要从简单情形入手找规律，而论证过程常用到数论的知识，比如奇偶性分析，整除分析等论证手段．

兴趣篇

如图8-1，用和两种规格的小长方形地板砖铺满的地面，至少需要地板砖多少块？图8-1

图8-1

国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图8-2中一个皇后（图中五角星）就把整个的棋盘控制了．为了控制一个的棋盘至少要放几个皇后？

★图8-2

★

图8-2

图8-3中的左图为15枚硬币组成的三角形，如果仅移动5枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法．

图8-

图8-3

把100个桔子分装在6个篮子里，使得每个篮子里装的桔子数都含有数字6，应该如何装？

把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的．请问：最少有多少条棱是白色的？

图8-

图8-4

请在9，8，，3，2，1的相邻两个数之间填入“?”或者“?”（不能改变数的顺序），使得结果是1．能否使得结果是0呢？

987654321?1

987654321?0

如图8-5，能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由．

图8-

图8-5

四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛了多少场．这四位同学回答分别比了1，2，3，3场．老师说：“你们肯定有人记错了．”请问：老师是怎么知道的呢？

有四个算式：，，，．如果每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数，那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这12个数中最少有多少个偶数？最多有多少个偶数？

有14个孩子，依次给他们编号为1，2，3，，14．能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和．

拓展篇

图8-6中的左图为21枚硬币组成的三角形，如果仅移动7枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法．

图8-

图8-6

小明买来一个1500克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了7块，使得无论是3个人还是5个人平分，都不必再分割蛋糕．这7

有4颗外形完全相同的珍珠，其中3颗是真的，另1颗是假的，已知假珍珠比真的要轻．请问：用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是9颗珍珠里有1颗假的呢？请设计出方案．

图8-7中，左边是一把长为6厘米的直尺，其中已标出2条刻度线．用它可以一次量出从1至6厘米中任意整数厘米的长度．右图为一把长为9厘米的直尺，请你在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从1至

1厘米

1厘米

2厘米

3厘米

图8-7

请将8个1，8个0填入图8-8的16个空格中，使得每行、每列的4个数之和都是奇数．

图8-

图8-8

8-2

有一列自然数，其中任意3个相连的数之和都不小于6，而任意4个相连的数之和都小于8．这个数列最多能有几项？

用7个相同的数字并且适当使用加、减号，可以计算出1000，例如．试用8个相同的数字（并且适当使用加号、减号）来计算1000．

有12根小木棍，长度分别为1，2，3，4，，12厘米．

（1）能否用这12根小木棍拼成一个长方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲；

（2）能否用这12根小木棍拼成一个正方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲．

（1）请在1，2，3，，19，20的相邻两个数之间填入“?”或者“?”（不能改变数的顺序），使得结果是0．

（2）能否在1，2，3，，20，21的相邻两个数之间填入“?”或者“?”（不能改变数的顺序），使得结果是0？

有5个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关控制．每次操作可以拉动其中的2个开关以改变相应灯泡的亮暗状态．能否经过若干次操作使得5个灯泡都变暗？

桌上放有5张卡片，小悦先在卡片的正面分别写上1，2，3，4，5，然后冬冬在背面也分别写上1，2，3，4，5，写完后计算每张卡片上两数之和，再把5个和相乘．问：冬冬能否找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？

将一个三位数改变三个数字的顺序之后可以得到一个新的三位数．请问：这个新的三位数和原来的三位数之和能不能等于999？如果能，请举出例子；如果不能，请说明理由．

超越篇

桌上放有5枚硬币．第一次翻动其中1枚，第二次翻动其中2枚，第三次翻动其中3枚，第四次翻动其中4枚，第五次翻动其中5枚．能否找到一种翻动硬币的方法，使得