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柯西不等式的变形解题

胡贵平（甘肃省白银市第一中学，甘肃白银730900）

柯西不等式作为一个基本而又重要的不等式，具有较强的应用性，灵活巧妙地运用柯西

不等式，特别是柯西不等式的变形形式，在解题中往往能收到出奇制胜、事半功倍的效果，

下面通过一些课本上的习题、高考题、竞赛题来看柯西不等式一个变形形式的应用.

a,a,L,ab,b,L,b

柯西不等式：若，是实数，则

12n12n

(aaLa)(bbLb)(ababLab)2222222，当a,a,L,a，

12n12n1122nn12n

b,b,L,bkakb(i1,2,L,n)

不全为零时，等号成立当且仅当存在一个实数，使得.

12nii

柯西不等式的变形形式：若a,a,L,a为实数，b,b,L,b为正数，则

12n12n

aa22a(aa...+a)22

1...2n12n，当a,a,L,a,b,b,L,b不全为零时，等号成立

bbbbb...+b12n12n

12n12n

kakb(i1,2,L,n)

当且仅当存在一个实数，使得.

ii

111

例1(选修4-5第41页第1题)已知a,b,cR，且abc1，求证9.

abc

你能否把这一结论推广，并写出证明.

证明因为a,b,cR，且abc1，由柯西不等式的变形公式，得

2222

111111(111)

9

abcabcabc.

1111111

所以9.当且仅当==，且abc1时，即a=b=c=时，

abcabc3

取得等号.

111

推广：x，x，，...x，R且xx...x1，则...n2.

12n12n