(完整版)高等数学期末复习考试之常微分方程部分 .pdfVIP

第11章常微分方程习题课

一.内容提要

1.基本概念

含有一元未知函数y(x)(即待求函数)的导数或微分的方程,称

为常微分方程;其中出现的y(x)的最高阶导数的阶数称为此微分方

程的阶;使微分方程在区间上成为恒等式的函数称为此

Iy(x)

微分方程在上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;

I

nn

若阶微分方程的解中含有个不可合并的任意常数,则称其为此

n

微分方程的通解;利用个独立的附加条件(称为定解条件)定出了

所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为

(n1)

一个定解问题;当定解条件是初始条件(给出y,y,,y在同一点

x处的值)时,称为初值问题.

0

2.一阶微分方程的解法

yf(x,y)

dy

(1)对于可分离变量方程,

(x)(y)

dx

dy



先分离变量(当(y)0时)得(x)dx,

ψ(y)

dy



再两边积分即得通解(x)dxC.

(y)

dyy

f

(2)对于齐次方程,



dxx



作变量代换uy,即yxu,可将其化为可分离变量的方程,分

x

dudxy

离变量后,积分得C,再以代替u便得到齐次方

f(u)uxx

１/19

程的通解.

(3)形如dyf(axbyc)的方程,

dxaxbyc

111

①若c,c均为零,则是齐次方程;

1

②若c,c不全为零,则不是齐次方程,但

1

ab

当