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基本不等式及应用

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1

１．已知函数f(x)x，求函数的

最小值和此时x的取值．x

11

解:f(x)x2x•2

xx

1

当且仅当x即x1时函数

x

取到最小2.

11

3、已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋)(y＋)

xy

的最小值为________．

11

解一：因为对a0，恒有a＋≥2，从而z＝(x＋)(y

ax

1

＋)≥4，所以z的最小值是4.

y

22

2＋xy－2xy2

解二：z＝＝(＋xy)－2≥

xyxy

2

2·xy－2＝2(2－1)，所以z的最小值是2(2－

xy

1)．

【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立

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的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成

立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．

111yx

【正确解答】z＝(x＋)(y＋)＝xy＋＋＋

xyxyxy

1x＋y2－2xy2

＝xy＋＋＝＋xy－2，

xyxyxy

x＋y1

2

令t＝xy，则0t＝xy≤()＝，由f(t)＝t＋

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2112

在(0，]上单调递减，故当t＝时，f(t)＝t＋有最

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