均值定理、均值不等式的证明及应用.pdfVIP

均值定理、均值不等式的证明及应⽤

知识梳理

1.基本不等式

，

若ab0，m0，则；

若a，b同号且ab，则。

2.均值不等式：

两个正数的均值不等式：，变形式：，等。

3.最值定理：设

（1）如果x，y是正数，且积，则x＝y时，

（2）如果x，y是正数，且和，则x＝y时，

运⽤最值定理求最值的三要素：⼀正⼆定三相等。

典型例题

知识点⼀：利⽤均值不等式求最值

例1：已知且满⾜，求的最⼩值。

分析：利⽤，构造均值不等式。

利⽤基本不等式求最值要注意“⼀正⼆定三相等”即（1）要求各数均为正数；（2）要

求“和”或“积”为定值；（3）要注意是否具备等号成⽴的条件。

解析：∵，，

∴，，当且仅当时等号成⽴，即，∴，⼜，∴∴当时，有最⼩值18。

例2：（1）已知0＜x＜，求函数y＝x（1－3x）的最⼤值；

（2）求函数y＝x+的值域。

分析：（1）由极值定理，可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反

数；（2）中，未指出x＞0，因⽽不能直接使⽤基本不等式，需分x＞0与x＜0两种情况讨论。

利⽤基本不等式求积的最⼤值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成⽴创造条件，同时要

注意等号成⽴的条件是否具备。

解析：（1）解法⼀：∵0＜x＜，∴1－3x＞0。

∴y＝x（1－3x）＝·3x（1－3x）≤［］2＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成⽴。∴x＝

时，函数取得最⼤值，

解法⼆：∵0＜x＜，∴－x＞0。

∴y＝x（1－3x）＝3x（－x）≤3（）2＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成⽴。

∴x＝时，函数取得最⼤值。

（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y＝x+≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成⽴。

当x＜0时，y＝x+＝－［（－x）+］。

∵－x＞0，∴（－x）+≥2，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成⽴。

∴y＝x+≤－2。

综上，可知函数y＝x+的值域为（－∞，－2］∪［2，+∞）。

知识点⼆：利⽤均值不等式证明

例3：已知，求证：。

分析：因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体。

综合法证明不等式常⽤两个正数的算术平均数不⼩于它们的⼏何平均数这⼀结论，运⽤时要结

合题⽬条件，有时要适当变形。

解析：，

相加整理得。

当且仅当时等号成⽴。

例4：已知a，b为正数，求证：≥。

分析：观察式⼦结构，⽤基本不等式加以证明。

当要证明的不等式形式上⽐较复杂时，常通过分析法寻求证题思路。“分析法”与“综合法”是数学

推理中常⽤的思维⽅法，特别是这两种⽅法的综合运⽤能⼒，对解决实际问题有重要的作⽤。

这两种数学⽅法是⾼考考查的重要数学思维⽅法。

解析：解法1：∵a0，b0，

∴≥，

≥，

两式相加，得

≥，

∴≥。

解法2：≥

。

∴≥。

解法3：∵a0，b0，∴，

∴欲证≥，

即证≥，

∵（a－b）2≥0成⽴，∴原不等式成⽴。

知识点三：均值不等式在实际中的应⽤

例5：某⼚⽣产某种产品的年固定成本为250万元，每⽣产千件，需另投⼊成本为。当年产量不

⾜80千件时，（万元）；当年产量不⼩于80千件时，（万元）。每件商品售价为0.05万元。通

过市场分析，该⼚⽣产的商品能全部售完。

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该⼚在这⼀商品的⽣产中所获利润最⼤？

分析：凑出基本不等式的形式。

求形如的函数的最值时可考虑⽤均值不等式，但要注意条件的限制，可借助函数的图象解题。

解析：（1）当时，

当时，

∴

（2）当时，，此时，当时，取得最⼤值（万元）；

当时，

此时，当时，即时，取得最⼤值1000万元。

所以，当产量为100千件时，该⼚在这⼀商品中所获利润最⼤，最⼤利润为1000万元。