2025年中考数学一轮复习一元二次方程（精讲）（原卷版）.docx

考点07.一元二次方程（精讲）

【命题趋势】

一元二次方程以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右。预计2024年各地中考还将继续考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了。

【知识清单】

1：一元二次方程的相关概念（☆☆）

1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2）一般形式：，其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是该一元二次方程的解。

2：一元二次方程的解法（☆☆☆）

1）直接开平方法：适合于或形式的方程。

2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；

（5）运用直接开平方法解方程。

3）因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或。

4）公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可。

5）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式。

6）一元二次方程根的情况与判别式的关系

（1）当时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；

（3）当时，方程没有实数根。

3：根与系数的关系（韦达定理）（☆☆☆）

对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，

则，。

4：一元二次方程的实际应用（☆☆☆）

1）利用一元二次方程解决实际问题

列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容。

2）增长率等量关系

（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有。

3）利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％。

4）面积问题：常用平移法解决面积问题。

5）碰面问题（循环问题）

（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。

∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场

∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场

∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.∴m=n（n－1）

（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。

∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场

∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.

∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，

∴上述求法无重叠.∴m=n（n－1）

【易错点归纳】

1.如果明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）。

2.利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0。

3.求根公式和一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△=b2-4ac≥0。

【核心考点】

核心考点1.一元二次方程的相关概念

例1：（2023·四川成都·统考一模）下列方程是一元二次方程的是（????）

A．B．C．D．

变式1.（2023·福建南平·统考一模）写出一个关于x的一元二次方程，此方程可以为_______．

例2：（2022·四川资阳·中考真题）若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．

变式1.（2023·山东泰安·一模）关于的一元二次方程的一个根为0，则实数的值是（???）

A．1 B． C．0 D．

变式2.（2023·福建福州·统考一模）关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（????）

A． B． C． D．

核心考点2.一元二次方程的解法

例3：（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（???????）

A． B． C．2 D．

变式1．（2023·山西运城·校联考模拟预测）配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般式化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是（）

A．数形结合思想 B．函数思想 C．转化思想 D．公理化思想

变式2．（2023