微积分 第二章习题2.1答案学习课件.docVIP

第二章极限与连续

2．1数列的极限

习题2。1

根据数列极限的定义证明：

（1）

证明：要使，只需，即，所以取，则时，恒有，所以。

（2）

证明：要使，只需，即，所以取，则时，恒有，所以。

（3）

证明：要使，只需，即，所以取，则时，恒有，所以。

(4)

证明：不妨设，要使，只需，即，所以取，则时，恒有，所以。

(5)

证明：要使，由于时，，所以只需时，，即所以取，则时，恒有，所以。

（6）

证明：要使，只需所以取，则时，恒有，所以。

（7）

证明：要使，只需时，即，所以取，则时，恒有，所以。

（8）

证明：

要使只需，所以取，则时，恒有，所以。

（9）

证明：要使，只需即，所以取，则时，恒有，所以。

（10）

证明：情形1：若，则问题为。任取，则时，恒有，所以。

情形2：若，则，。当时，要使，只需，所以取，则时，恒有，所以。

（11）

证明：方法1：不妨设，要使，只需，即，而所以只需，即，取，则时，恒有，所以。

方法2：设是正整数，，则，即，所以有，相乘得，即。

要使，只需，即，取，则时，恒有，所以。

2.若，证明。并举例说明：数列有极限，但数列可以无极限。

证明：，由知，当时，，而此时，所以。

设，则无极限，但有极限。

3.设数列有界，且，证明

证明：，使得对任何都有。由知存在正整数，当时，，此时，所以

4.对于数列，若，证明。

证明：，由存在正整数，当时，；由存在正整数，当时，；取，则时，恒有，所以。

5.若存在正整数，对任意的当时，有问数列有什么性质？

答：当时，。否则对于小于的，就不会成立。

6.已知，证明。

证明：由知存在正整数，当时，。

又易知存在正整数，当时，，所以时，，即。

7.证明：若极限都存在，则极限存在。

证明：和都是的子列，而存在，所以。而也是的子列，所以；也是的子列，所以；于是，所以存在。