四川省眉山市东坡区眉山中学2024届高三数学2月月考试题 理[1].doc

眉山中学2024届2月月考

数学（理工类）

一选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分在给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的

复数是纯虚数，则实数的值为

ABCD

2集合若则实数的取值范围为

ABCD

3“”是“直线和互相平行”的

A充要条件B必要而不充分条件

C充分而不必要条件D既不充分又不必要条件

4已知是平面，是直线，则下列命题不正确的是

A若，则B若则

C若则D若则

5一个四棱锥的底面是正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是

AB

CD

6将编号为的个小球放入个不同的盒子中若每个盒子放个，

其中编号为的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有

A种B种C种D种

7在不等式组所表示的平面区域内任取一点若点的坐标满足的概率为，则实数

ABCD

8执行如图所示的程序框图，则输出的值为

ABCD

9函数的一个极值点在区间内，则实数的取值范围是

ABCD

10定义在上的函数满足，当时，

函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是

ABCD

二填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分

二项式的展开式中，各项系数和与常数项分别为，则

12某年级有名学生，现从中抽取人作为样本，采用系统抽样的方法，将全体学生按照编号，并按照编号顺序平均分成组（号，号，号）若从第一组抽出的编号为，则第组抽出的编号为

13函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为

14若直线与圆相交于两点，则

15设与是定义在同一区间上的两个函数，若使得则称和是上的“接近函数”，称为“接近区间”；若，都有则称和是上的“远离函数”，称为“远离区间”给出以下命题：

eq\o\ac(○,1)与是上的“接近函数”；

eq\o\ac(○,2)与的一个“远离区间”可以是

eq\o\ac(○,3)和是上的“接近函数”，则；

eq\o\ac(○,4)若与（是自然对数的底数）是上的“远离函数”，则

其中的真命题有（写出所有真命题的序号）

三解答题：本大题共6个小题，共75分

16（本小题共12分）已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）设且求的值

17（本小题共12分）空气质量按照空气质量指数大小分为六级，相对应空气质量的六个类别（见下表），指数越大，级别越高说明污染情况越严重，对人体的危害越大

级别

指数

一

二

三

四

五

六

当日PM25数(微克立方米)范围

空气质量

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染

为了调查某城市空气质量状况，对近300天空气中PM25的浓度进行统计，得出这300天中PM25浓度的频率分布直方图将PM25浓度落入各组的频率视为概率，并假设每天的PM25浓度相互

（Ⅰ）当空气质量指数为一级或者二级时，人们可正常进行户外活动，根据样本数据频率分布直方图，估算该市居民每天可正常进行户外运动的概率；

（Ⅱ）当空气质量为“重度污染”和“严重污染”时，出现雾霾天气的概率为用表示未来3天里该市出现雾霾天气的天数，求的分布列和

18（本小题共12分）四棱锥中，侧面是正三角形，底面是正方形，且平面平面，分别是的中点

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值

19（本小题共12分）等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足

（Ⅰ）求和的通项公式；

为奇数为偶数（Ⅱ）令,设数列的前项和为，求

为奇数

为偶数

20（本小题共13分）已知函数

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）当时，求证：对任意的正整数，都有

21（本小题共14分）已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的最小值；

（Ⅲ）若存在使，求实数的取值范围（其中是的导数，）