天津中学20242024学年高中数学 第三章 空间向量练习2 理 新人教A版选修21.doc

第三章空间向量2

一空间向量（A）

在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________

在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为______

3如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角PACD的大小

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，

使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；

若不存在，试说明理由。

解：

（Ⅰ）；连,设交于于，由题意知以O为坐标原点，分别为轴轴轴正方向，建立坐标系如图。

设底面边长为，则高。

于是

故

从而

(Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为

（Ⅲ）在棱上存在一点使

由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，

且

设

则

而

即当时，

而不在平面内，故

4如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值

（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形

PBECDFA

P

B

E

C

D

F

A

又，因此

因为平面，平面，所以

而平面，平面且，

所以平面又平面，

所以

（Ⅱ）解：设，为上任意一点，连接

由（Ⅰ）知平面，

PBECDFAH

P

B

E

C

D

F

A

H

O

S

在中，，

所以当最短时，最大，

即当时，最大

此时，

因此又，所以，

所以

PBECDFAyzx解法二：由（Ⅰ）知

P

B

E

C

D

F

A

y

z

x

，

，

所以

设平面的一法向量为，

则因此

取，则，

因为，，，

所以平面，

故为平面的一法向量

又，

所以

因为二面角为锐角，

所以所求二面角的余弦值为

二空间向量在立体几何中的应用（B）

从点P引三条射线PAPBPC，每两条的夹角都是60°，

则二面角B—PA—C的余弦值是()

Aeq\f(1,2)Beq\f(1,3)Ceq\f(\r(3),3) Deq\f(\r(3),2)

把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点EF分别是ADBC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为()

A45°B90°C120° D60°

3如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，

平面，且

（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长

如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点

依题意得

（I）解：易得，

于是

所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为

（II）解：易知

设平面AA1C1的法向量，

则即

不妨令可得，

同样地，设平面A1B1C1的法向量，

则即不妨令，

可得

于是

从而

所以二面角A—A1C1—B的正弦值为

（III）解：由N为棱B1C1

得设M（a，b，0），

则

由平面A1B1C1，得

即

解得故

因此，所以线段BM的长为

4如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2

(I)求证：A1C⊥平面

(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

解：（1），

平面，

又平面，

又，

平面。

（2）如图建系，则，，，

∴,

设平面法向量为

则∴∴

∴

又∵

∴

∴，

∴与平面所成角的大小。

（3）设线段上存在点，设点坐标为，则

则，

设平面法向量为，

则∴

∴。

假设平面与平面垂直，

则，∴，，，

∵，∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。