2025年中考数学一轮复习等腰三角形与直角三角形（原卷版）.docxVIP

考点四等腰三角形与直角三角形

知识点整合

一、等腰三角形

1．等腰三角形的性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．

2．等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

二、等边三角形

1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．

2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．

3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

三、直角三角形与勾股定理

1．直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．

性质：（1）直角三角形两锐角互余；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

2．勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

考向一等腰三角形的性质判定

1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．

2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．学-科网

3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．

4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则a．

5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．

6．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．

7．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．

典例引领

1．如图，边长为12的等边，F是边AC的中点，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边，连接CD、CE、EF，下列说法正确的有（????）个．

①；②；③；④的周长最小值为18；⑤的大小随着点D的移动而变化．

A．2 B．3 C．4 D．5

2．如图，在等腰三角形中，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的边上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是（????）

A． B． C．减 D．或

二、填空题

3．如图，在中，，，D为中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有以下结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的结论有（填序号）

4．如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点．若，则的周长是．

5．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为．

变式拓展

6．（1）【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了这样的问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连结．请根据小明的方法思考：

如图2，由已知和作图能得到的理由是选填（SSS，SAS，AAS，ASA）

（2）【问题解决】

根据图2，求出中线的取值范围．

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．

（3）【拓展延伸】

如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：．

7．（1）阅读理解

如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种方法叫做倍长中线法．

（2）问题解决：

如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由．

（3）问题拓展：

如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：．

8．如图，在中，、分别为、边的垂直平分线，连接、．

??

(1)求证：；

(2)若，，则的周长为．

9．如图所示，在中，，F是延长线上一点，点E在上，且．

????

求证：

(1)；

(2)判断的关系，并证明．

考向二等边三角形的性质与判定

1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．

2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．

3．等边三角形的内