《平面向量数乘运算的坐标表示》题型突破.docxVIP

高中数学精编资源

PAGE2/NUMPAGES2

《平面向量数乘运算的坐标表示》题型突破

重点难点突破

一、两个向量共线的几种不同的表示方法

已知a=x1y1,b=x2y2,且b≠0.

(1)a//b?a=λbλ∈R.这是几何运算,体现了向量a与向量b的长度及方向之间的关系.

(2))a//b?x1y2-x2y1=0.这是代数运算,用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”,从而减少了未知数的个数,而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征.

(3)当x2y2≠0时,a//b?x1x2=

典型例题剖析

题型1运用向量共线求参数

例1已知a=12,b=-32,当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?

解析:若ka+b与a-3b平行,则存在实数λ,使得ka+b=λa-3b,

方法一:

ka+b=k

当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λa-3b.

则k-32k+2=λ10-4,可得k-3=10λ,

∵λ=-130,∴ka

方法二:

由方法一知ka+b

∵ka+b与a-3b平行,

∴ka+b=-10

方法技巧

根据向量共线条件求参数问题时,一般有两种思路,一是利用向量共线定理a=λbb≠0,列方程组求解,

变式训练1已知平面向量a=m+13,b=(2,m),且a

A.2或-3B.3C.-2或3D.-2

答案:A

点拨:平面向量a=m+13,b=2

即m2+m-6=0,解得m=2或m=-3,∴实数m=2或

题型2向量共线解决三点共线

例2(1)已知四点坐标A-11,B15,C(-2,-1),D4

(2)已知向量OA=k12,OB=45

解析:(1)判断直线AB与CD的位置关系时,先计算出AB,AC,AD的坐标,并判断它们之间的数量关系,发现它们是互相平行的,又有共同的起点A,从而可以得出结论.(2)若A,B,C三点共线,则AB//

答案:(1)因为AB=24,AC=-2-1-(-1

由于AB与AC,AD有共同的起点A,所以A,B,C,D四点共线,因此直线AB与CD

(2)AB=OB-

若A,B,C三点共线,则AB//AC,

解得k=-2或11.∴当k=-2或11时,A,B,C三点共线.

方法技巧

1.三点共线问题的实质是向量共线问题,两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的,利用向量平行证明三点共线需分两步完成:(1)证明向量平行;(2)证明两个向量有公共点.

2.若A,B,C三点共线,则由这三个点组成的任意两个向量共线.

变式训练2如果向量AB=i-2j,BC=2i+μj,其中i,j分别是x

答案:方法一:因为A,B,C三点共线,即AB,BC共线,所以存在实数λ,使AB=λBC

可得2λ=1,λμ=-2,解得

故当μ=-4时,A,B,C三点共线.

方法二:依题意得i=

所以AB=10

因为AB,BC共线,所以1×μ-2×-2=0

故当μ=-4时,A,B,C三点共线.

题型3共线向量的应用

例3已知点A3-4与点B-12,点P在直线AB上,且|AP

解析:由|AP|=2|PB|,可以用坐标表示出向量后列方程组求解,也可以直接根据定比分点坐标公式求出点P的坐标.注意|AP|=2|PB|表示

答案:方法一:设点P的坐标为xy

∵|

当AP=2PB时,则x-3y+4

解得x=13,y=0,

当AP=-2PB时,则x-3y+4=-2-1-x2-y,∴x-3=2+2x,y+4=-4+2y,解得x=-5,y=8.∴点P的坐标为-5

方法二:设点P的坐标为x

∵|

当AP=2PB时,λ=2,∴x=3+2×-11+2=13,y=-4+2×21+2=0,∴点P的坐标为130;

当AP=-2

方法技巧

在求有向线段定比分点坐标时,不必过分强调公式记忆,可以转化为向量问题后列方程组求解,同时应注意分类讨论.

变式训练3已知M3-2,N-5-1,若MP=12PN,则P点的坐标为()

A.-81B.8-1C.13-53

规律方法总结

1.向量共线的坐标表示的应用.

两向量共线的坐标表示的应用,可分为两个方面:

(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识,可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.

(2)已知两个向量共线,求点或向量的坐标、参数的值、轨迹方程等.要注意方程思想的应用,向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据.

2.三点共线的实质与证明步骤.

实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.

证明步骤:利用向量平行证明三点共