天津市高中数学 第3讲 函数的基本性质寒假课程学案 新人教版.doc

第三讲函数的基本性质

一知识梳理

1奇偶性

（1）定义：设函数＝的定义域为，如果对于内任意一个，都有，且＝，那么这个函数叫做奇函数

设函数＝的定义域为，如果对于内任意一个，都有，且＝，那么这个函数叫做偶函数

（2）如果函数不具有上述性质，则不具有奇偶性如果函数同时具有上述两条性质，则既是奇函数，又是偶函数

函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质

（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定在定义域内即定义域是关于原点对称的点集

（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y轴对称

（5）奇偶函数的运算性质：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇

（6）奇（偶）函数图象对称性的推广：

若函数的图象关于直线对称，则；

若函数的图象关于点对称，则

2单调性

（1）定义：一般地，设函数的定义域为，区间

如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间；

如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间

（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的部性质

（3）设复合函数，其中，A是定义域的某个区间，B是映射g:→的象集

①若在A上是增（或减）函数，在B上也是增（或减）函数，则函数在A上是增函数；

②若在A上是增（或减）函数，而在B上是减（或增）函数，则函数在A上是减函数

（4）奇偶函数的单调性

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反

③在公共定义域内：

增函数增函数是增函数；

减函数减函数是减函数；

增函数减函数是增函数；

减函数增函数是减函数

3最值

（1）定义：

设函数＝的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的∈I，都有≤M；②存在∈I，使得＝M，那么，称M是函数＝的最大值

设函数＝的定义域为I，如果存在实数满足：①对于任意的∈I，都有≥；②存在∈I，使得＝，那么，称是函数＝的最小值

（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在∈I，使得＝M；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的∈I，都有≤M（≥）

二方法归纳

1利用定义判断函数奇偶性的方法

（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

（2）确定与的关系；

（3）作出相应结论：

若＝或＝0，则是偶函数；

若＝或＋＝0，则是奇函数

2利用定义证明或判断函数单调性的步骤

（1）任取，∈D，且＜；

（2）作差；

（3）变形（通常是因式分解和配方）；

（4）定号（即判断差的正负）；

（5）下结论（即指出函数在给定的区间D上的单调性）

3求函数最大（小）值的一般方法

（1）求值域进而得到最大（小）值求函数的值域的常见方法：直接法配方法换元法判别式法数形结合法反函数法单调性法等等

（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

（3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；

三典型例题精讲

【例1】判断下列函数的奇偶性

（1）；（2）

错解分析：（1）∵

显然有＝，∴为偶函数

（2）∵，于是≠且≠

∴为非奇非偶函数

解析：（1）∵的定义域为≥０，即1≤＜1

定义域不是关于原点对称的数集，∴为非奇非偶函数

（2）∵的定义域为且≠０，即1＜＜1且≠0，此时

∴，∴为奇函数

技巧提示：正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域

又例:判断下列函数的奇偶性

（1）；（2）；

（3）

解析：（1）∵≥0，即1≤≤1此时，∴，为奇函数

（2）当＞0，＜0时，

＝，＝，＝；

当＜0，＞0时，

＝，＝，＝；

∴为奇函数

（3）∵的定义域为

此时函数化为＝0，

∴既是奇函数又是偶函数

【例2】讨论函数的奇偶性

解析：函数定义域为R，

又

＝

∴为偶函数

技巧提示：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）

如本题亦可先化简：，显然为偶函数

从这可以看出，化简后再解决要容易得多

又例：证明函数为奇函数

解析：∵＋＝＋

＝＝＝0

∴为奇函数

再例：讨论函数（≠0）的奇偶性

解析：∵≤，∴要分＞0与＜0两类讨论

（i）当＞0时，由，函数的定义域为，

∵≥0，∴，为奇函数；

（ii）当＜0时，由，函数的定义域为，

∵≤0，∴，既不是奇函数，也不是偶函数

【例3】求函数的单调区间

错解分析：设，

∴为函数的单调递减区间；为函数的单调递增区间

又为的减函