天津市高中数学 第4讲 基本初等函数寒假课程学案 新人教版.doc

第四讲基本初等函数

一知识梳理

1指数与对数的概念

＝N（＞0，1）

2指数与对数的性质

指数运算性质

①Q），

②Q），

③Q）

（注）上述性质对rR均适用

对数运算性质

①log＝log

②log

③（MN＞0,＞0,1）

推广：

④换底公式：（，＞0，1，1）

3指数函数对数函数的概念

形如＝（＞0且≠1，＞0）叫做指数函数（exponentialfunction），其中是自变量，函数的定义域为R

形如＝（＞0且≠1，＞0）的函数，叫做对数函数（logarithmicfunction）

（1）指数函数对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幂函数的区别；

（2）注意底数的取值范围

4指数函数对数函数的图像和性质（略）

5幂函数

（1）幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数

（2）幂函数性质：

①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

②时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

③时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴

二方法归纳

1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；

2指数函数对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；

3比较几个数（幂或对数值）的大小的常用方法有：①以和为桥梁；②利用函数的单调性；③作差

4指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径

三典型例题精讲

【例1】比较下列各数的大小：

解析：∵＜0，其他各数都大于零，故最小；

又∵＝1，＝2，∴1＜＜＜2＜＝8，

对于与，首先，它们都属于区间（0,1），且是同底的幂，

考虑函数＝为减函数，∴＜

于是有

又例:比较下列各组数的大小：（1），，；（2），

解析：（1）∵＞1，0＜＜1，＜0，∴＜＜

（2）∵，

又函数＝为减函数，∴0＞＞∴＜

再例：当０＜＜＜1，下列不等式正确的有（）

AB

CD

解析：∵0＜＜＜1，

又函数＝为减函数，＝在（0,1）上为增函数，

∴＜＜，故选D

技巧提示：利用指数函数对数函数幂函数的单调性，同时充分利用和为桥梁，能使比较大小的问题得到解决

【例2】已知函数＝（＞0，≠1）在区间[1，1]上的最大值为14，求的值

解析：∵＝＝，又，

当＞1时，，，为的增函数

∴函数的最大值为

当0＜＜1时，，，为的增函数

∴函数的最大值为

综上得，

技巧提示：指数函数与二次函数的复合函数，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径

又例：已知＝求

（1）的单调区间；

（2）求函数的最大值及对应的的值

解析：（1）由，得的定义域为，

记＝＝（1）2＋4，对称轴为＝1

∴的增区间为（1，1】，减为区间【1，3）

（2）∵＝（1）2＋4≤4，∴当＝1时有最大值＝1

【例3】函数的定义域是（）

ABCD

解析：由，得，即，

由为减函数，∴故所求定义域为选A

技巧提示：这里充分利用指数函数的单调性，通过解简单的指数不等式得到所求定义域同样，可以充分利用对数函数的单调性，通过解简单的对数不等式得到某些问题的解

又例：若，则的取值范围是

解析：由，即，

当＞１时，是增函数，于是，∴＞１

当０＜＜１时，是减函数，于是，∴０＜＜

综上可知的取值范围是＞１或０＜＜

再例：解不等式（＞0，＞0）

解析：由，得

＞0，即

∴或（舍去）

当＞时,；

当＜时，；

当＝时，不等式无解

【例4】函数的单调递增区间是

解析：由，得，

而函数，

即在上是增函数，在上是减函数

又是减函数，∴单调递增区间是

技巧提示：对于复合函数的单调性，一要注意在定义域内研究问题；二是对组成复合函数的每一个函数的单调性作出判断；最后根据复合函数的单调性原则做出结论

又例：求函数的单调递减区间

解析：显然的定义域是

设，则

∴的单调递增区间为

有＝是的减函数，

∴的单调递减区间为

再例：已知＞0且≠1,函数在定义域[2,3]上的最大值比最小值大1,则的值为

解析：由题意，有，即，∴＝，

【例5】当＞1时，证明函数＝是奇函数

解析：由1≠0得≠0

故函数定义域｛｜≠0｝是关于原点对称的点集

又＝，，

∴＝所以函数＝是奇函数

技巧提示：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，在判定与关系时，也可采用如下等价证法

（≠０），（≠０）

如本题可另证如下：

∵，即＝，