天津市高中数学 第9讲 三角函数的图像及性质寒假课程学案 新人教版.doc

第八讲三角函数

一知识梳理

1正弦函数余弦函数和正切函数的图象与性质：

2周期函数定义：

对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期

结论：如果函数对于，那么函数的周期T=2k；

如果函数对于，那么函数的对称轴是

3图象的平移

对函数y＝Asin（ωx＋j）＋k（A＞0，ω＞0，j≠0，k≠0），其图象的基本变换有：

（1）振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的A＞1，伸长；A＜1，缩短

（2）周期变换（横向伸缩变换）：是由ω的变化引起的ω＞1，缩短；ω＜1，伸长

（3）相位变换（横向平移变换）：是由φ的变化引起的j＞0，左移；j＜0，右移

（4）上下平移（纵向平移变换）：是由k的变化引起的k＞0，上移；k＜0，下移

二方法归纳

1求三角函数的值域的常用方法：

①化为求代数函数的值域；

②化为求的值域；

③化为关于（或）的二次函数式；

2三角函数的周期问题一般将函数式化为（其中为三角函数，）

3函数为奇函数；

函数为偶函数

函数为偶函数；

函数为奇函数

4函数的单调增区间可由解出，

单调减区间可由解出；

函数的单调增区间可由解出，

单调减区间可由解出

5对称性：

（1）函数对称轴可由解出；

对称中心的横坐标是方程的解，对称中心的纵坐标为（即整体代换法）

（2）函数对称轴可由解出；

对称中心的横坐标是方程的解，对称中心的纵坐标为（即整体代换法）

（3）函数对称中心的横坐标可由解出，

对称中心的纵坐标为，函数不具有轴对称性

三课堂例题精讲

例1下列函数中，周期为的是（）

A B C D

答案：D

例2已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）

A关于点对称 B关于直线对称

C关于点对称 D关于直线对称

答案：A

解析：由题意知，所以解析式为，经验证可知它的一个对称中心为

例3函数的最小正周期和最大值分别为（）

A， B， C， D，

答案：A

解析：，∴T=π，ymax=1

例4函数的单调递增区间是（）

A B C D

答案：D

解析：因为，

例5将的图象按向量a=平移，则平移后所得图象的解析式为（）

AB

CD

答案：A

解析：看向量a=的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定BCD

例6函数的一个单调增区间是（）

A B C D

答案：C

解析：法一：∵函数的一个单调递增区间为，

又函数是以π为周期的函数，

∴函数的单调递增区间为（k∈Z）

当k=1时，函数的一个单调增区间为故选C

法二：作出函数的图象，由图易知的一个单调增区间为故选C

法三：将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式，

AB两个选择支的端点值相等，而选择支D的左端点值大于右端点值，

所以根据单调递增的概念判断，可排除ABD，故选C

例7函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示，则=

答案：=3

例8已知函数和的图象的对称轴完全相同若，则的取值范围是

答案：

解析：由题意知，，因为，所以，

由三角函数图象知：的最小值为，最大值为，

所以的取值范围是

例9定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为

答案：

解析“线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=

故线段P1P2的长为

例10设函数，其中向量，，，且的图象经过点

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合

解析：（Ⅰ），由已知，得

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

当时，的最小值为，

由，得值的集合为

例已知函数是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间[0，]上是单调函数，求和的值

解析：由是偶函数，得，

故，对任意x都成立，

且依题设0≤≤，

由的图象关于点M对称，得

取

又，得

当时，在上是减函数

当时，在上是减函数

当≥2时，在上不是单调函数

所以，综合得或

四课后作业

1函数的一个单调增区间是（）

A B C D

2已知函数=Acos的图象如图所示，，则=（）

ABCD

3设ω0，函数f（x）=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是

4判断方程sinx=实数解的个数

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