山东省乐陵中学2024届高三数学 第16周 离散型随机变量及其分布列学案.doc

山东省乐陵**中学2024届高三数学第16周离散型随机变量及其分布列学案

【学习目标】1理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用

【重点难点】理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列，理解超几何分布并能进行简单应用

【知识梳理】

1离散型随机变量

在一次试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量，常用大写字母X，Y，…表示如果随机变量X的所有可能的取值都能____________，则称X为离散型随机变量

2离散型随机变量的分布列及性质

(1)离散型随机变量的分布列，若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P1，P2，…Pn，则表

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列

(2)离散型随机变量的分布列的性质

①________________________________；②_______________________________＝1

3常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布：若随机变量X分布列为

X

1

0

P

p

q

，其中0＜p＜1，q＝1p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布

(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时概率为P(X＝m)＝eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(nm,NM),C\o\al(n,N))(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为NMn的超几何分布

【自我检测】

1(固基升华)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1()

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()

(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，

X

2

5

P

03

07

则它服从二点分布()

(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布()

2抛掷甲乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是()

A一颗是3点，一颗是1点

B两颗都是2点

C一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点

D甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点

3(2024·威海模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于_______________

【合作探究】

【例1】考向1离散型随机变量分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

02

01

01

03

m

求随机变量η＝|X1|的分布列

变式训练1随机变量X的分布列如下：

X

1

0

1

P

a

b

其中，a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________

考向2离散型随机变量的分布列

【例2】(2024·天津高考)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)

(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；

(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望

考向3超几何分布

【例3】(2024·东北三校联考)PM25是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于25微米的可入肺颗粒物根据现行国家标准GPM25日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标

从某自然保护区2024年全年每天的PM25监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

PM25日均值(微克/立方米)

[25,35]

(35,45]

(45,55]

(55,65]

(65,75]

(75,85]

频数

3

1

1

1

1

3

(1)从这10天的PM25日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这10天的数据只任取3天数据，记ξ表示抽到PM25监测数据超标的天数，求ξ的分布列

变式训练3(2024·课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元根据历史资