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关于高中三角函数的难题解析

三角函数问题一直是高中数学考察的热点问题。观察近些年的各种考题，不

难发现解答题中加大了对三角函数图像和性质的考察力度。通过分析已知函数的

图像或者运用三角函数的性质化简已知函数，从而得出问题中三角函数的有关性

质以有关图像的变化。这样的考察方式越来越受到命题者的青睐。三角函数和性

质这部分知识点，已经成为高中数学常考不衰的热点题型，也是高考的重点知识。

本文试图总结三角函数图像的各种类型和解题方法，摸索出高中三角函数的解题

规范。

标签：三角函数；三角函数性质；三角函数图像；高考数学

一基本知识点

1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：

五点法：先取横坐标分别为0，的五个点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，

就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

2、正弦函数、余弦函数的性质：

（1）定义域：都是R。

（2）值域：都是，对，当时，取最大值1；当时，取最小值-1；对，

当时，取最大值1，当时，取最小值-1。

特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性

了吗？

3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质列表如下：

定义域RR

值域

R

周期性

奇偶性奇函数偶函数奇函数

单调性上为增函数；上为减函数（）

；上为增函数

上为减函数

（）

上为增函数（）

4、周期性：①，的最小正周期都是2；

②和的最小正周期都是。

5、奇偶性与对称性：

（1）正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；

（2）余弦函數是偶函数，对称中心是，对称轴是直线。

注意：垂直于x轴，过最高点或者最低点的直线为正弦或余弦函数的对称轴。

6、单调性：

上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。

特别提醒，别忘了！

7、三角形中的有关公式：

（1）内角和定理：在解题过程中，我们要尤其注意到三角形内角和为，这

一点要切记！

任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.

锐角三角形有以下性质：

1：三个角都是锐角。2：余弦值都是正值。3：两个角的和是钝角。4：任意

两边的平方和大于第三边的平方。

（2）正弦定理：（R为三角形外接圆的半径）.

注意：①正弦定理的一些变式：

；

；

；

（3）余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.

（4）面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.如中，若，判断的形

状（答：直角三角形）。

特别提醒：

（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性。

注意相互之间的关系。

（2）一般我们在用正弦、余弦定理求解题目中含有边角混合关系时，首先

要边角相互转化。

8、求角的方法：

1：先确定角的范围；

2：求出角的一个三角函数

在求角的三角函数时通常要注意两点（1）所求角的三角函数在角的范围

具有单调性；（2）是根据条件易求出此三角函数值。

二典型例题

三角函数边角的相互转化问题

1.（浙江文科5）在中，角所对的边分.若，则

（A）（B）（C）（D）1

【答案】D

【解析】∵，∴，

∴.

评注：本小题主要考察三角函数和对应边之间的相互转化。在解决此类问题

时，首先要清楚题干中给出的条件，然后通过简单的代换和化简即可得出结果。

2.（10全国1卷文1）

（A）（B）-（C）（D）

解：

评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识。在解决

此类问题时，要熟练的掌握各种诱导公式，然后通过化简得出结果。

3.（10全国I卷理2）记，那么

A.B.-C.D.-

解：，

。故选B

评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互

这一转