高考数学题型全归纳：正余弦定理常见解题类型典型例题(含答案).pdfVIP

正余弦定理常见解题类型

1．解三角形

正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和

一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．

余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边

和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

例1已知在△ABC中，A45，a2，c6，解此三角形．

解：由余弦定理得b(6)26bcos45422，

从而有b31．

又(6)b222bcosC222，

1

得，或．

cosCC60C120

2

或．

B75B15

因此，，，

b31C60B75

或，，．

b31C120B15

注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做．

2．判断三角形的形状

利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或

边的关系，一般的，利用正弦定理的公式a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，可将边转化

为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理：

222222

bcaacb

ABC；利用余弦定理公式cosA，cosB，

2bc2ac

222

abc

cosC，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识

2ab

来解决问题．

例2在△ABC中，若bsinCcsinB2bccosBcosC2222，判定三角形的形状．

abc

解：由正弦定理2R，为△ABC外接圆的半径，

sinAsinBsinC

可将原式化为8RsinBsinC8RsinBsinCcosBcosC2222，

∵sinBsinC0，

sinBsinCcosBcosC，即cos(BC)0．

BC90，即A90，故△ABC为直角三角形．

3．求三角形中边或角的范围

例3在△ABC中，若C3B，求的取值范围．c

b

解：，．

ABCA4B

1

．可得2．

0B0sinB

42

csinCsin3B

又2，

∵34sinB

bsinBsinB

c