高考数学三角函数的图象和性质经典例题.pdfVIP

高考数学-三角函数

解：在单位圆中，作出锐角α在正弦线MP，如图2-9所示

在△MPO中，MP+OM＞OP=1即MP+OM＞1

∴sinα+cosα＞1

于P，P两点，过P，P分别作PM⊥x轴，PM⊥x轴，垂足分

12121122

k∈Z}

【例3】求下列函数的定义域：

解：(1)为使函数有意义，需满足2sinx+cosx-1≥02

由单位圆，如图2-12所示

k∈Z}

(4)为使函数有意义，需满足：

取k=0和-1时，得交集为-4＜x≤-π或0≤x≤π

∴函数的定义域为(-4，-π]∪[0，π]

【例4】求下列函数的值域：

∴此函数的值域为{y|0≤y＜1}

∵1+sinx+cosx≠0∴t≠-1

【例5判断下列函数的奇偶性：

∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)

(2)函数的定义域为R，且

f(-x)=sin[cos(-x))=sin(cosx)=f(x)

∴函数f(x)=sin(cosx)是偶函数．

(3)因1+sinx≠0，∴sinx≠-1，函数的定义域为{x|x∈R且x≠2k

既不是奇函数，也不是偶函数．

【例6求下列函数的最小正周期：

【分析】欲求三角函数的周期，一般是把三角函数f(x)化成易求周期的函数y=Asin(ω

x+)+b或y=Acos(ωx+)+b的等形式．函数y=Asin(ω

“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．

(2)y=cosx+sinx=(cosx+sinx)-2sinxcosx4422222

=|cosx|+|sinx|=f(x)

正周期．

(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立．特别当x=0时，有|sinT|+|cosT|=sinT

【例8】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合．

∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π，k∈Z}

∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}

当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3．

1．形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx，cosx的有界性来求最值；

2．形如y=asinx+bsinx+c或y=acosx+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，变为22

y=a(sinx+m)+k或y=a(cosx+m)+k，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|≤1，|cosx|22

≤1

【例9】求下列函数的单调区间：

【分析】复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的．

(2)函数y=sinx-2sinx+2，是由y=u-2u+2及u=sinx及复合而成，∴|u|≤122

【例10】当a≥0，求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值，及相应的x的取值．

【分析】本题对f(x)解析式的变换关键在于认识解析式中两项间的内在联系，从而断定f(x)

解析式中的平方关系，另外本题含字母系数，要分清常数和变量，还要有对字母a作分类讨论的准

备．

解：f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2

由a是常数，故这里只要求y=(sinx+cosx+a)的最大值、最小值．合2

物线的图象如图2-14所示两种可能．

【例11】函数f(x)=Asin(ωx+)的图象如图2-15，试依图指出

(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；

(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；

(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．

【分析】这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，

它根据f(x)=Asin(ωx+)的图象与函数y=sinx的图象的关系得出．

注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个

周期中研究，再延伸到整个定义域中．