中考数学热点题型之圆中的相关计算问题（云南专用）（解析版）.docxVIP

专题07圆中的相关计算问题

目录

热点题型归纳 1

TOC\o1-3\h\z\u一、与圆相关的证明与计算 1

题型01与圆相关的证明与计算（常见模型） 1

【解题策略】 1

二、求线段长的三种方法 7

题型02利用勾股定理或三角函数求线段长（方法一） 7

【解题策略】 7

题型03利用相似三角形的性质求线段长（方法二） 12

题型04利用等面积法求线段长（方法三） 17

三、与圆有关的阴影部分面积的计算 21

题型05与圆有关的阴影部分面积的计算 21

中考练场 32

一、与圆相关的证明与计算

题型01与圆相关的证明与计算（常见模型）

【解题策略】

方法技巧

常见模型（知识提炼）

图示

技巧点拨

1.有直径构造直角

有30°，构造直角三角形.

有直径，构直角.

2.圆中易得等腰三角形

圆中易得等腰三角形；

3.有平行四边形，易得含60°的菱形

以两半径为邻边的平行四边形，必为含60°的菱形.

4.含直径为腰的等腰三角形，易得三线合一

含直径为腰的等腰三角形，易得三线合一；

5.有中点，得垂直

有中点，连圆心，构垂径定理.

6.连接圆心的线段易为中位线

连接圆心的线段易为中位线.

【典例分析】

【例1】（2023·辽宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，直线PE切⊙O于点Q，连接BQ

(1)∠QBP=25°，求

(2)若PA=2，PQ=4，求⊙

【答案】解：(1)连接OQ，

∵直线PE切⊙O于点Q，

∴∠PQO=90°，

∵∠QBP=25°，

∴∠QOP=50°，

∴∠P=90°-∠QOP=40°?，

即∠P=40°；

(2)设OQ=r，

则PO=2+r，

【解析】此题考查了切线的性质，圆周角定理及推论以及勾股定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

(1)连接QO，直线PE切⊙O于点Q，可得∠PQD=90°，然后根据圆周角定理及推论，可得∠QOP，从而求出∠P的度数；

(2)设OQ=r，则PO=2+

【例2】（2023·全国模拟）

如图，直线AB经过⊙O上一点C，并且OA=OB，CA=CB

【答案】解：直线AB是⊙O的切线，

理由：连接OC，如图，

∵OA=OB，AC=BC，

∴OC⊥AB，

∵OC为⊙

【解析】根据等腰三角形性质得出OC⊥AB，根据切线的判定得出即可．

【变式演练】

1.（2023·山西模拟）

如图，⊙O的直径AB=6，C为圆周上一点，AC=3，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．

(1)求∠AEC的度数；??

【答案】解：(1)∵OA=OC=12AB=3，AC=3，

∴OA=OC=AC，

∴△OAC为等边三角形，

∴∠AOC=60°，

∵圆周角∠AEC与圆心角∠AOC所对的弧都是AC，

∴∠AEC=12∠AOC=30°；

(2)∵直线l切⊙O于C，

∴OC⊥CD，

又∵BD⊥CD，

∴OC/?/BD，

∴∠B=∠

【解析】(1)由直径AB的长，求出半径OA及OC的长，再由AC的长，得到△OAC三边相等，可得此三角形为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOC=60°，再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可得出∠AEC的度数；

(2)由直线l与圆O相切，根据切线的性质得到OC与直线l垂直，又BD与直线l垂直，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行得到BE/?/OC，根据两直线平行同位角相等，可得出∠B=∠AOC=60°，再由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠AED=90°，再求出∠DEC=60°

2.（2023·河北模拟）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB

(1)求证：∠AOB

(2)若AB=4，BC=5

【答案】(1)证明：由圆周角定理得，?∠ACB=12∠AOB?，?∠BAC=12∠BOC?．

∵∠ACB=2∠BAC，

∴∠AOB=2∠BOC．

(2)解：过点O作半径OD⊥AB于点E，则?∠DOB=12∠AOB?，AE=BE．

∵∠AOB=2∠BOC，

∴∠DOB=∠BOC．

∴BD=BC．

∵AB=4，?BC=5，

∴

【解析】(1)由圆周角定理得出，∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∠BOC，再根据∠ACB=2∠BAC，即可得出结论;

(2)过点O作半径OD⊥AB于点E，根据垂径定理得出∠DOB=

二、求线段长的三种方法

题型02利用勾股定理或三角函数求线段长（方法一）

【解题策略】

方法技巧

（1）勾股定理最简单的应用，就是在一个直角三角形中已知其中两条边的长度，求另外一条边；

另外，有时候也结合勾股定理通过设未知数的方法来计算线段的长度。

比如，在△A