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例谈利用基本不等式求最值的变形技巧

不等式ab≤（a、b∈R+）在高中数学教材中被称作基本不等式，它在求最值的题目中有着广

泛的应用，是历年高考中的热点内容。但其取等号的条件相当苛刻，概括起来有三条：“一

正，二定，三相等”。“一正”即这两个数必须都是正的，“二定”即这两个数的和或积是定值，

“三相等”即这两个数可以相等。只有以上三条同时成立，才能取得最值。当这些条件不能同

时满足时，需要我们根据已知条件对所求式子进行适当变形，使其具备上述条件。下面结合

例题展示各种变形技巧，以期对大家有所启发。

一、加负号

1、已知x0，-0，

∴（-x）+（-）≥2（-x）×（-）=2

∴x+=-[（-x）+（-）]≤-2（当且仅当x==-1时等号成立）。

小结：加负号是为了将负数变为正数，从而满足两个正数相加的条件，当然不能忘了在

括号外再加一个负号。

二、加减常数

2、已知p=a+（a2），求p的最小值。

分析：a2，能保证a、都大于0，但它们的乘积不是定值，需将a减去常数2，变为a-2。

解：∵a2，∴a-20，0

∴p=a+（）=（a-2）+（）+2≥2（a-2）×（）+2=4，当且仅当a-2=即a=3时取等号。

∴p的最小值为4。

小结：加减常数，是为了使乘积不是定值的两个数变为乘积是定值的两个数，当然不要

忘了后面要相应的减加同一个数。

三、变换系数

3、已知2a+b=30（a、b∈R+），求ab的最大值。

分析：ab是积的形式，其和的形式为a+b，不能确定是定值，而已知2a+b为定值，这

里需变化ab的系数。

解：∵a、b0，∴ab=（ab）2；

又∵ab=×2a×b≤×=，当且仅当2a=b即b=2a=15时取等号，

∴ab=（ab）2≤（）2=

小结：变换系数，其目的是通过变换使两者的和为定值。

四、变商为和

4、设x∈（1，∞），求函数y=的最小值。

分析：该函数分子为二次函数，分母为一次函数，凡是这样的函数，均可通过将分子写

成关于分母的二次式，然后变商为和解决问题。

∴函数y=的最小值是1。

小结：变商为和的目的是将问题转化为求两个积为定值的正数的和的最小值问题。

五、系数１的变换

例５、已知ｘ０，ｙ０，且有＋＝1，求x+2y的最小值。

分析：直接利用均值不等式，需用两次，且两次等号成立的条件不同。这里可利用＋＝

1，将x+2y变形为（ｘ＋2ｙ）（＋），再展开，直接利用基本不等式解决问题。

解：∵+=1，ｘ０，ｙ０,

∴ｘ+2y=（ｘ+2ｙ）×１

=（ｘ+2ｙ）×（+）

＝10++≥10+2=18，当且仅当＝时即ｘ=4y=12时成立。

小结：将１变换，可避免多次应用基本不等式造成等号不成立。

六、变“二元”为“一元”

例６、已知ｘ０，ｙ０，且xy＝x+y+3，求xy的取值范围。

分析：已知xy=x+y+3，式中同时有xy、x+y两种形式，可利用基本不等式，将x+y变

为2xy，原等式变为关于xy的一元二次不等式，解之即可求得xy的取值范围。

解：∵x、y0，∴x+y≥2xy

∴xy≥2xy+3

即xy-2xy-3≥0

∴（xy-3）（xy+1）≥0

∴xy≥3

∴xy≥9，当且仅当x=y=3时取等号。

∴xy的取值范围为[9，+∞）。

小结：利用基本不等式将和变为积，等式变为不等式，二元变为一元，解一元二次不等

式即可。