山东省郓城县实验中学20242024学年高中数学 正态分布学案 新人教A版选修23.doc

正态分布

导学目标：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

自主梳理

1正态分布密度曲线及性质

(1)正态曲线的定义

函数φμ，σ(x)＝__________________________(其中实数μ和σ(σ0)为参数)的图象为正态分布密度曲线

(2)正态分布密度曲线的特点

①曲线位于x轴________，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线________对称；

③曲线在________处达到峰值____________；

④曲线与x轴之间的面积为____；

⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散

2正态分布

(1)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝________________________，则称随机变量X服从正态分布，记作________________

(2)正态分布的三个常用数据

①P(μσX≤μ＋σ)＝____________；

②P(μ2σX≤μ＋2σ)＝____________；

③P(μ3σX≤μ＋3σ)＝____________

自我检测

1(2024·大连模拟)下列说法不正确的是()

A若X～N(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴

B正态分布N(μ，σ2)的图象位于x轴上方

C所有的随机现象都服从或近似服从正态分布

D函数φ(x)＝eq\f(1,\r(2π))(x∈R)的图象是一条两头低中间高关于y轴对称的曲线

2已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ3)等于()

Aeq\f(1,5) Beq\f(1,4) Ceq\f(1,3) Deq\f(1,2)

3(2024·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝08，则P(0ξ2)等于()

A06 B04 C03 D02

4某随机变量ξ服从正态分布，其正态分布密度函数为φ(x)＝eq\f(1,\r(8π))，则ξ的期望和标准差分别是()

A0和8 B0和4

C0和eq\r(2) D0和2

5

(2024·辽宁十校联考)设两个正态分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ10)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ20)的密度函数图象如图所示，则有()

Aμ1μ2，σ1σ2

Bμ1μ2，σ1σ2

Cμ1μ2，σ1σ2

Dμ1μ2，σ1σ2

探究点一正态曲线的性质

例1

如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差

变式迁移1若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为eq\f(1,4\r(2π))

(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；

(2)求正态总体在(4,4]的概率

探究点二服从正态分布的概率计算

例2设X～N(5,1)，求P(6X≤7)

变式迁移2设X～N(1,22)，试求：

(1)P(1X≤3)；(2)P(3X≤5)；(3)P(X≥5)

探究点三正态分布的应用

例3(2024·青岛期末)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)

(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,0)上的概率是多少？

(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？

变式迁移3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该同学中成绩在80分～85分的有17人试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人？

1正态分布密度曲线，简称正态曲线，其解析式为：φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈(∞，＋∞)

2正态曲线的特点：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称(3)曲线在x＝μ时达到峰值eq\f(1,\r(2π)σ)(4)曲线与x轴之间的面积为1(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中

33σ原则：从理论上讲，服从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R，但实际上ξ取区间(μ3σ，μ＋3σ)外的数值的可能性微乎其微(只有026%)，在实际问题中常常认为它是不会发生的因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ3σ，μ＋3σ)，这就是实用中的三倍标准差规则，也叫3σ原则在企业管理中，经常应用这个原则进行产品质量检查和工艺生产过