3.1函数及其表示.docxVIP

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§3.1函数的概念及其表示

一、函数的概念

1.函数的定义：设A，B是，如果对于集合A中的，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.

2.函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做，A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的．

3.对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示对应关系的方法，引进符号f统一表示对应关系．

注意：判断对应关系是否为函数的2个条件

①A、B必须是非空数集．

②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．

二、函数的三要素

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：、和。

三、相同函数

值域是由和决定的，如果两个函数的定义域和相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们相同的函数．

四、分段函数

1.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的的函数．

2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的；各段函数的定义域的交集是。

注意：（1）分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．

1（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．

1（3）分段函数的图象要分段来画．

五、函数的定义域

（一）具体函数的定义域

1.分式函数,分母不为0。

2.偶次根式函数,被开方数非负数。

3.中的底数不等于0；中的底数也不等于。

1【例题】求下列函数的定义域：

（1）y＝eq\f(?x＋1?2,x＋1)－eq\r(－x2－x＋6)（2）y＝eq\f(\r(10－x2),|x|－3)（3）y＝

（二）抽象函数的定义域

1.由的定义域为，求的定义域，须解。

模型：单一到复合，类比联想，整体代入。

1【例题】设函数的定义域为，则（1）函数的定义域；（2）函数的定义域为。

1【变式】已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域。

2.由的定义域D，求的定义域，只须解在D上的值域就是函数的定义域。

模型：复合到单一，采用换元法。规避易错点：新变量的取值范围。

1【例题】：已知函数的定义域为，则的定义域。

1【变式】：函数f(2x＋1)的定义域为[1,3]，求函数f(x)的定义域。

3.由的定义域D，求的定义域。

模型：复合到复合，找到“桥梁”。

【例题】：函数定义域是，则的定义域

【变式】：已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2，3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域。

4.运算型的抽象函数：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域

其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

【例题】：已知函数的定义域是，求的定义域。

（三）实际问题中的定义域问题

实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义。

【例题】：用长为1的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆的框架，若半圆的半径为，求此框架围

成的面积与的函数。

（四）定义域的逆向问题

【例题】：若函数f(x)＝eq\f(x－4,mx2＋4mx＋3)的定义域为R，求实数m的取值范围。

【变式】：已知函数y＝eq\r(mx2－6mx＋m＋8)的定义域是R，求实数m的取值范围。

六、函数的值域

1.值域是函数值的取值范围，它是由定义域和对应法则所确定的，所以求值域时要注意定义域.

2.常见函数的值域

函数

表达式

图像

定义域

值域

一次函数

R

R

反比例函数

二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)

对号函数

类对号函数

3.求函数值域的方法

（1）方法一：观察法、直接法（利用以上表格）

【例题】：求函数的值域。

【变式】：求函数的值域。

（2）方法二：分离常数法

类型一：形如，可化为的形式，一般的函数的值域为

【例题】：求函数的值域。【变式】：求函数的值域

类型二：型如的函数，可化简成的格式，再求值域。

【例题】：求函数的值域。【变式】：求函数的值域

（3）方法三：配方法

将二次函数配方成，根据二次函数的图像和性质其可求出值域。用此种方法，注意自变量的范围。

1【例题】：求函数