人教B版高中数学必修5-3.2知识总结：均值不等式复习三大注意事项.pdfVIP

均值不等式复习三大注意事项

基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关

ab

键是其变形灵活，形式多姿多样，基本不等式“ab(a0,b0)”沟通了两

2

个正数的“和”与“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.

在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者

不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应

用情境后再解决问题.因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面.

一个技巧

运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如

22逆用就是ab22，ab(a0,b0)逆用就是ab2

ab2abababab()

222

等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

两个变形

22

2abab

(1),即调和平均数几何平均数算术

ab(a,bR)

1122



ab

平均数平方平均数；（当且仅当时取等号）

ab

(2)abab22(a,bR)（当且仅当时取等号)．

ab()2ab

22

这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．

三个注意

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相

等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式

中“正”“定”“等”的条件．

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存

在且一致．下面举例析之.

一、注意运用不等式链

从某种意义上来讲要学好基本不等式的变形关键是掌握上述两个不等式

链.不等式中的常见变形主要围绕这两个基本不等式链进行.

11

例1已知，，，求的最大值.

a0b0ab1

ab

解析：由，，又2ab，因为，所以21，

a0b0ab1

112112



abab

111

所以4，当且仅当