初中数学精品教案：利用二次函数的图象和性质解决问题.doc

《0305利用二次函数的图象和性质解决问题》微设计

学习目标：

学会认真审题，根据已知条件列出数量关系，建立二次函数模型；

掌握描点法画出函数图象，会从图表中提炼有用信息，去增根和求函数表达式；

会利用二次函数图象和性质求解最值问题，感悟数形结合思想和分类思想。

学习重点：在实际问题中建立二次函数模型。

学习难点：利用二次函数图象和性质解决实际问题。

学习过程：

问题背景

二次函数是进行数学研究的一个重要工具，它贯穿整个初中数学的教与学，在初中数学中占据重要的地位。

利用二次函数的图象和性质解决实际问题，是二次函数综合运用的体现，具有考点丰富、题型多样、综合性强、与生活联系紧密等特点，一直是中考考查的重难点之一。所以，我们需要进一步研究二次函数在实际生活中的应用和对实际生活的影响，从而培养学生严谨的数学思维、运算能力、分析能力和解决问题的能力。

例题解析

例（2019·嘉兴市中考第24题）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数刻画；当25≤t≤37时可近似用函数刻画．

（1）求h的值．

（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系：

①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；

②请用含t的代数式表示m．

（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．

思路探寻

思考1：h出现在哪个函数表达式中？

（意图：让学生明确目标，为后续解题找到源头。）

思考2：如果要求h，那就需要知道p和t的一对对应值，在已知条件中能找到吗？

（意图：启发学生观察图象，提炼有用信息，把函数转化为方程，从而解方程得h值。）

（1）能，观察图象可知，当t=25时，p=0.3，所以，我们可以把（25，0.3）代入，

得到方程：，

解得：h＝29或h＝21，

思考3：这两个解都符合题意吗？

（意图：提醒学生继续观察图象，提炼出自变量的取值范围，从而去除增根。）

由表达式可知，顶点坐标为（h,0.4），[图上画竖线，标出与x轴的交点h]，再来观察图象，易知h＞25，所以h只能取29；

本题在求函数表达式时，以及去增根时，都运用了数形结合思想。

思考4：m和p是哪种函数关系？

（意图：引导学生根据表格提供的信息，建立一次函数模型，进而得到二次函数模型。）

（2）①由表格可知，m随着p的增大而增大，所以m是p的一次函数，

可设（k≠0），选取任意两点代入，列出方程组解得，

∴；

②当10≤t≤25时，把代入，化简得；

当25≤t≤37时，把代入，得；

本题在求函数表达式时运用了分类思想。

（3）思考5：观察图2，你能求出w关于t的函数表达式吗？

（意图：引导学生观察图象2，根据函数图象特征，确定为一次函数模型，进而用待定系数法分段求解。）

我们发现，它的图象由两条线段组成，所以我们可以用待定系数法求出函数表达式：

当20≤t≤25时，由（20，200），（25，300），得w＝20t﹣200，

当25≤t≤37时，w＝300，

问题是：提前上市多少天时增加的利润最大？

思考6：增加的利润怎么计算呢？

（意图：根据学生已有的知识经验，类比构建新的等量关系，为建立函数模型，打下基础。）

我们知道：利润＝销售额－成本

那么，增加的利润＝增加的销售额－增加的成本

思考7：题中还有哪些数量关系呢？

（意图：启发学生继续分析，寻找等量关系，为后续建立一次函数和二次函数模型，提供思路。）

根据题意，我们还知道：

增加的销售额＝每提前一天增加的销售额×提前的天数

增加的成本＝提前m天后的成本－原计划的成本

提前m天后的成本＝加温后每天成本×加温的天数

原计划的成本＝原计划每天成本×原计划天数

接下来，把已知数据分别代入：原计划每天成本为200，加温后每天成本是w，提前一天增加的销售额是600，原计划是30天上市，提前上市为m天，则30—m就是加温的天数。

如果假设增加的利润为y，那么由以上等量关系可知：

把和分别代入，化简得和

再把第（2）小题求得的m分别代入，化简得和

思考8：两个函数的最大值分别是多少呢？

（意图：为了促使学生思考并找出解题思路，需做以下工作，先画出草图，再利用二次函数图象和性质，结合自变量取值范围求出两支图象各自的最值，然后比较得出最大值，从而解决实际问题。）

我们可以先求得它们的顶点坐标分别为和

再画出草图，并描出自变量范围内的图象，观察可知，

y1在端点处取最