2025年中考数学一轮复习与圆有关的位置关系及计算（精讲）（原卷版）.docxVIP

考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）

【命题趋势】

与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

【知识清单】

1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）

1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：

图1图2

(1)dr?点在⊙O内，如图1；(2)d=r?点在⊙O上，如图2；(3)dr?点在⊙O外，如图3．

解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。

2）直线和圆的位置关系：

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：

图1图2图3

(1)dr?相离，如图1；(2)d=r?相切，如图2；(3)dr?相交，如图3。

2：切线的性质与判定（☆☆☆）

1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。

解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。

2）切线的判定

（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；

（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。

3）切线长定理

定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

解题技巧：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解。

3：三角形的外接圆与内切圆（☆☆☆）

1）三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

2）三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

3）三角形的外心：三角形三边中垂线的交点，叫该三角形的外心。

4）三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，叫该三角形的内心。

5）常见结论

（1）三角形内切圆半径：，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长；

（2）直角三角形内切圆半径：，其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长。

【易错点归纳】

1.由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进行分类讨论，否则比较容易漏解。

2.一个三角形有且只有一个内切圆和一个外接圆，而一个圆有无数个外切三角形和内接三角形。

【核心考点】

核心考点1.点、直线与圆的位置关系类

典例1：（2023·上海闵行·校联考模拟预测）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（????）

??

A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内

C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内

变式1．（2023·浙江·模拟预测）已知的半径为3，点P到圆心O的距离为2，则点P与的位置关系是（????）

A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定

变式2．（2023年江苏省宿迁市中考数学真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（????）

A．2 B．5 C．6 D．8

变式3．（2024·山东·统考模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（????）

A． B． C． D．

例2：（2023·广东广州·统考二模）的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程的两根和与两根积，则直线l与的位置关系是．

变式1．（2023·浙江杭州·统考二模）已知的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

变式2．（2023年江苏省镇江市中考数学真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点