四川省岳池县第一中学高中数学《§111 正弦定理》学案 新人教A版必修5.doc

§111正弦定理

学习目标

1掌握正弦定理的内容；

2掌握正弦定理的证明方法；

3会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题

教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

学习过程

一课前准备

试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动

思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

二新课导学

※学习探究

探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有，，又，

从而在直角三角形ABC中，

(

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，

有CD=，则，

同理可得，

从而

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立请你试试导

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即

试试：

（1）在中，一定成立的等式是（）

AB

CD

（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；

（2）等价于，，

（3）正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

如；

（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形

※典型例题

例1在中，已知，，cm，解三角形

变式：在中，已知，，cm，解三角形

例2在

变式：在

三总结提升

※学习小结

1正弦定理：

2正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，

还有②等积法，③外接圆法，④向量法

3应用正弦定理解三角形：

①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角

※知识拓展

，其中为外接圆直径

学习评价

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）

A很好B较好C一般D较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1在中，若，则是（）

A等腰三角形B等腰三角形或直角三角形

C直角三角形D等边三角形

2已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，

则a∶b∶c等于（）

A1∶1∶4B1∶1∶2 C1∶1∶ D2∶2∶

3在△ABC中，若，则与的大小关系为（）

AB

C≥D的大小关系不能确定

4已知ABC中，，则=

5已知ABC中，A，，则

=

课后作业

1已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形

2已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，求实数k的取值范围为