备战高考数学复习考点知识与题型讲解6---应用基本不等式的八种变形技巧.pdfVIP

备战高考数学复习考点知识与题型讲解

第6讲应用基本不等式的八种变形技巧

基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，

积定和最小”.但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适

当变形后才可求最值.

技巧一加上一个数或减去一个数使和或积为定值

m

yxxm

(1)已知函数＝＋(2)的最小值为6，则正数的值为________.

x－2

11

xyxy

(2)(2022·杭州学军中学计算大赛)已知正数，满足＋＝1，则＋的

xy

1＋1＋2

最小值是________.

mm

xmyxx

【解析】(1)因为2，0，所以＝－2＋＋2≥2（－2）·＋2

x－2x－2

m

mxmyxx

＝2＋2，当且仅当＝2＋时取等号.又函数＝＋(2)的最小值为6，所以

x－2

mm

2＋2＝6，解得＝4.

xy

(2)因为＋＝1，

xy

所以2＋2＋2＋1＝5，

11121

xy＋

所以＋＝(2＋2＋2＋1)·

xyxy

1＋1＋252＋21＋2

yx

12＋42＋23＋22

＝3＋＋≥，

xy

52＋21＋25

yx

1＋22＋28－5252－6

xy

当且仅当＝，即＝，＝时等号成立.

xy

1＋1＋2