微积分 (数列的极限)学习课件.PPTVIP

*1.唯一性四、收敛数列的性质证故收敛数列极限唯一.定理：收敛数列的极限唯一.从而从而*2.有界性然数n,恒有成立,则称数列有界,否则,称为无界.定义对数列,若存在正数M,使得一切自例如,有界;无界.数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间上.*定理收敛的数列必定有界.证由定义,所以有界是数列收敛的必要条件,而非充分条件推论无界数列必定发散.但是有界数列不一定收敛.*3.保号性定理证*推论定理*五、数列的子列及其极限子列:在数列中依次所构成的新数列子列.叫做数列这里是原数列中的第项,在子数列中是第k项,任意抽出无穷多项:*子列定理(收敛的数列与其子列间的关系)注意数列的子列收敛，该数列不一定收敛.P20子列定理**********************证是数列的任一子数列.则成立.现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明*********************设数列正整数K子列定理*问题答案不是.推论1(上面定理的逆否命题)证明数列发散的方法*敛于a.数列的奇子数列和偶子数列均收敛于同一常数a时,则数列也收推论2*小结1.数列:研究其变化规律.2.数列极限:极限思想,精确定义,几何意义.3.收敛数列的性质:有界性、唯一性、保号性.5.证明数列极限不存在的方法.4.收敛数列与其子数列间的关系.方法1:找一个趋于∞的子数列;方法2:找两个收敛于不同极限的子数列.*思考题C(2)D.不确定“”恒有是数列收敛于a的().A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件(1)*1.数列的某子列收敛，是否此数列一定收敛？3.数列的奇、偶子列都收敛，是否此数列一定收敛？2.数列的某子列发散，是否此数列一定发散？4.数列的两个子列收敛于不同的极限，是否此数列一定发散？否否.是是,但本身不收敛.利用子列定理.奇偶数列都收敛，但本身不收敛.利用子列定理.*作业习题2.1(P20)1.(2)(3)(6)3.本节要求1.记住数列极限的定义及其性质.2.会利用数列极限定义证明简单的数列极限.*§2.1数列的极限一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、收敛数列的性质五、子列*正形的面积正形的面积正形的面积1、割圆术求面积A：一、概念的引入(刘徽割圆术)当n无限增大时,无限逼近A:*2、截丈问题“一尺之棰，日取其半，万世不竭”我国战国时期(公元前4世纪)名家公孙龙等人提出命题剩余长度依次为1，不为零，1/2，1/4，1/8，1/16，…,1/32，*定义按自然数编号依次排列的一列数称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,称为通项(一般项).数列(1)记为二、数列的定义例如*几何表示1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取*2.在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,onxn····1234则数列的几何意义是平面上一串分离的点.数列可看作自变量为正整数n的函数:整标函数或下标函数.*三、数列的极限onxn····1234····5678*描述性(直观)定义问题如何用数学语言刻画它?若当n无限增大时,无限接近于某一确定的常数a,我们就称a为数列当n趋向于无穷时的极限.记为*我们知道**改进*数列极限的严格定义总存在正数,使得对于时的一切那末就称常数a是数列的极限,或定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),不等式都成立,收敛于a,记为或者称数列如果数列没有极限,就说数列是发散的.**(1){xn}有没有极限,主要看“后面”的无穷多项.(4)“前面”的有限项不起作用,注意(2)它就是确定了.但是一旦给出之后,一般地说