天津市南开中学20242024学年高二数学上学期第五周周练试题 理 新人教A版.doc

天津南开中学高二第一学期数学周练5

一选择题：（每题5分）

1是异面直线，点，下列命题：（1）过P可作平面与均平行；（2）过P可作直线与都相交；（3）过P可作平面与都垂直；（4）过P可作直线都垂直，其中真命题的个数是（）

A1 B2 C3 D4

2正方体中，分别是棱的中点，则和所成的角的余弦值为（）

A B C D

3已知长方体的对角线长为4，过同一顶点的两条棱与此对角线成角均为，则长方体的体积是（）

A B C D

4已知是四条不重合的直线，其中为在平面上的射影，为在平面上的射影，则（）

A B

C D

5P是正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱CC1上一点（侧棱端点除外），则∠APB的大小满足（）

A B

C D以上都有可能

6如图在正三棱锥ABCD中，EF分别是ABBC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥ABCD的体积是（）

（正三棱锥：底面是正三角形，侧棱长都相等的三棱锥，侧棱长不一定等于底面边长）

7在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是()

A B CD

*8某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）

A B C D

二填空题：（每题5分）

9四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=1，PC平面AC，PC=2，则点P到直线BD的距离为___________

*10已知矩形ABCD中，AB=1，BC=，平面ABCD，若在BC上有且仅有一个点Q满足，则的值为________

已知的顶点B在平面内，AC在的同侧，AB，BC与所成的角分别是和，若AB=3，BC=，AC=5，则AC与所成角的余弦值为________

12给出下面四个命题：

①过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条

②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行

③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行

④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等

其中正确的命题序号为

三解答题：（每题10分）

13如图，三棱锥中，底面，

点，分别在棱上，且

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦

14如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心为直径的球面交于点

（1）求证：⊥平面；

（2）求直线与平面所成的角的正切；

*15在正三棱柱中，，求与平面所成角的正弦值

（正三棱柱：上下底面为正三角形的直棱柱，底面边长不一定等于侧棱长）

天津南开中学高二第一学期数学周练5答案

选择题

ACCC ABCC

填空题

9 102 12=2\*GB3②=4\*GB3④

三解答题：

13（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC

又，∴AC⊥BC

∴BC⊥平面PAC

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴

∴在Rt△ADE中，

14（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ

因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ

（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，

则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，

由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，

所以就是与平面所成的角，

且，

15取中点D，设=，连接

，设

为所求角，