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9.4矩形、菱形、正方形第9章中心对称图形——平行四边形9.4.2菱形
逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2菱形的定义及其性质菱形的判定
知识点菱形的定义及其性质知1-讲11.定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
知1-讲2.特殊性质如下表图形文字语言(性质)符号语言菱形的四条边都相等∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD菱形的两条对角线互相垂直∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC菱形既是轴对称图形(有两条对称轴),又是中心对称图形
知1-讲(1)菱形的性质可以用来证明线段相等,角相等,直线平行、垂直以及进行相关的计算;(2)菱形的性质与勾股定理联系,可得对角线长与边长之间的关系,即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和;
知1-讲(3)如果菱形的一个内角为60°,那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形;(4)菱形的面积=底×高=两条对角线长的乘积的一半(填空题、选择题直接运用).
知1-讲特别提醒1.菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等.二者必须同时具备,缺一不可.2.菱形的定义既是菱形的基本性质,也是菱形的基本判定方法.3.菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的一切性质,如对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.
知1-讲3.矩形和菱形的区别(1)矩形和菱形都建立在平行四边形的基础上,矩形是附加一直角,而菱形是附加一组邻边相等;(2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形,而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形;(3)矩形的对称轴是两条过对边中点的直线,而菱形的对称轴是两条对角线所在的直线.
知1-练例1在菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点.
知1-练解题秘方:紧扣菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识求解.
知1-练(1)如图9.4.2-1①,若CE=CF,求证:AE=AF;
知1-练?
知1-练(2)如图9.4.2-1②,若∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,求∠CEF的度数.
知1-练解:如图9.4.2-1②,连接AC.∵四边形ABCD为菱形,∠B=60°,∴AB=BC=CD=DA,∠D=∠B=60°.∴△ABC与△CDA为等边三角形.∴AB=AC,∠ACF=∠BAC=60°.
知1-练?
知1-练技巧在求与菱形有关的角的问题时,由于菱形的每条对角线都把菱形分成两个全等的等腰三角形,因此通常通过连接对角线,把四边形问题转化为特殊三角形(等边三角形、等腰三角形等)问题来解答.
知1-练方法在菱形中如果出现“30°”“60°”“120°”“一边等于最短对角线”这些词语时,往往都指向等边三角形,我们需用等边三角形的知识来解决.
知2-讲知识点菱形的判定21.判定图形文字语言(判定)符号语言有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(定义法)∵AB=BC(或AB=AD或AD=CD或BC=CD),∴?ABCD是菱形四边相等的四边形是菱形(判定1)∵AB=BC=AD=CD,∴四边形ABCD是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形(判定2)∵AC⊥BD,∴?ABCD是菱形
知2-讲2.易错警示判定菱形时,一定要明确是从“四边形”出发的,还是从“平行四边形”出发的:(1)若从“四边形”出发,则还需四条边相等;(2)若从“平行四边形”出发,则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.
知2-讲特别提醒判定菱形的常见思路四边形四条边都相等→菱形对角线互相垂直且平分→菱形平行四边形对角线互相垂直→菱形有一组邻边相等→菱形可依据题目特点选取不同的方法.
知2-练[期末·武汉]在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于O,下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是()A.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD,AC⊥BDB.AB∥CD,AB=CD,AB=BCC.OA=OC,OB=OD,AC⊥BDD.AB∥CD,AD=BC,AB=BC例2
知2-练解题秘方:根据菱形的定义及其判定方法对各选项逐一判断.解:A.由∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD,易得四边形ABCD是平行四边形,∵AC⊥BD,∴?ABCD是菱形,故A不符合题意;B.∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AB=BC,∴?ABCD是菱形,故B不符合题意;
知2-练答案:DC.∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC⊥BD,∴?ABCD是菱形,故C不符合题意;D.由AB∥CD,AD=BC,不能判断出四边形ABCD是平行四边形,进而不能得出四边形ABCD是菱形,故D符合题意.
知2-练思路导引如图
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