安徽省寿县安丰高级中学2024届高考数学一轮复习 第一章 解三角形正弦定理和余弦定理的应用导学案 新人教版必修5.doc

正弦定理和余弦定理的应用

[知识能否忆起]

1实际问题中的有关概念

(1)仰角和俯角：

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)

(2)方位角：

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)

(3)方向角：

相对于某一正方向的水平角(如图3)

①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向

②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向

③南偏西等其他方向角类似

(4)坡度：

①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)

②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)

2解三角形应用题的一般步骤

(1)审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；

(3)选择正弦定理或余弦定理求解；

(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位近似计算要求

[小题能否全取]

1从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()

Aαβ Bα＝β

Cα＋β＝90° Dα＋β＝180°

答案：B

2若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()

A北偏东15° B北偏西15°

C北偏东10° D北偏西10°

解析：选B如图所示，

∠ACB＝90°，

又AC＝BC，

∴∠CBA＝45°，

而β＝30°，

∴α＝90°45°30°＝15°

∴点A在点B的北偏西15°

3(教材习题改编)如图，设AB两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则AB两点的距离为()

A50eq\r(2)m B50eq\r(3)m

C25eq\r(2)m Deq\f(25\r(2),2)m

解析：选A由正弦定理得

AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)

4(2024·上海高考)在相距2千米的AB两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则AC两点之间的距离为________千米

解析：如图所示，由题意知∠C＝45°，

由正弦定理得eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(2,sin45°)，

∴AC＝eq\f(2,\f(\r(2),2))·eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6)

答案：eq\r(6)

5(2024·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行________海里

解析：如图，由题意知在△ABC中，∠ACB＝75°60°＝15°，B＝15°，∴AC＝AB＝8

在Rt△AOC中，OC＝AC·sin30°＝4

∴这艘船每小时航行eq\f(4,\f(1,2))＝8海里

答案：8

解三角形应用题常有以下两种情形

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解

测量距离问题

典题导入

[例1]郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李小王设计的底座形状分别为△ABC△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D

(1)求AB的长度；

(2)若不考虑其他因素，小李小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)

[自主解答](1)在△ABC中，由余弦定理得

cosC＝eq\f(AC2＋BC2AB2,2AC·BC)＝eq\f(82＋52AB2,2×8×5)，①

在△ABD中，由余弦定理得

cosD＝eq\f(AD2＋BD2AB2,2AD·BD)＝eq\f(72＋72AB2,2×7×7)，②

由∠C＝∠D得cosC＝cosD

解得AB＝7，所以AB的长度为7米

(2)小李的设计使建造费用最低

理由如下：

易知S△ABD＝eq\f(1,2)AD·BDsinD，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BCsinC，

因为AD·BDAC·BC，且∠C＝∠D，

所以S△ABDS△ABC

故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低

若环境标志