(完整)常微分方程习题(word文档良心出品) .pdfVIP

第一章习题

1-1求下列两个微分方程的公共解。

24



（1）yy2xx

242



（2）y2xxxyy

解两方程的公共解满足条件

24224

2xxxyyy2xx，

即

422

2x2yxy0，

22

(2x2y1)(xy)0，

12x2

所以yx2或y。

2

12x2

代入检验可知y不符合，所以两方程的公共解为yx2。

2

评注：此题是求解方程满足一定条件的解，即求两个微分方程的公共解。在求解时由于

令其导数相等，很容易产生增解，因而要对所求结果回代原方程进行检验，舍去增解。

2



1-2求微分方程yxyy0的直线积分曲线。



解设直线积分曲线为yaxb，则ya，代入原方程得

2

axaaxb0

，

2

即x(aa)(ab)0，

所以

2



aa0

，



ab0



可得ab0或ab1。

因而所求直线积分曲线为y0或yx1。

评注：此题是求解方程的部分解，采用的是待定系数法。待定系数法是求解常微分方程

常用的方法之一，有待定常数法和待定函数法。本题首先设出满足题设条件的含有待定常数

的解，然后代入原方程来确定待定常数，解决此类问题的关键在于正确地设出解的形式。

2223



1-3微分方程4xyyxy，证明其积分曲线是关于坐标原点成中心对称的曲线。





证设y(x)满足微分方程，只须证明y(x)也满足方程即可。



tx

作变换，则证明y(t)满足方程即可，代入方程两端，并利用y(x)满

足此方程，得

dt

2222





左=4t(t)()(t)，

dx

2222