安徽省芜湖一中2024年自主招生数学模拟试题新人教A版.doc

2024年芜湖一中自主招生模拟试题

数学试卷

4三个等圆有公共点M，点ABC是其他交点，则点M是△ABC的（）

A外心B内心C垂心D重心

5如图，已知平行四边形ABCD中，EF分别为边ABAD上的点，EF与对角线AC交于点P若，（abmn均为正数），则的值为（）

AB

CD

6如图，记二次函数的图像与x轴正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份设

分点分别为过每个分点作x轴的垂线，分别与该图像交

再记直角三角形,…的面积分别为…，这样就有，，…；记，当n越来越大时，W最接近的常数是（）

ABCD

二填空题（每小题7分，共42分）

7设a是正实数，若函数（x可取任意实数）的最小值为10，则a=

8今年3月12日植树节活动中，某单位的职工分成两个小组植树，已知他们植树的总数相同，均为100多棵，如果两个小组人数不等，第一组有一人植了6棵，其他每人都植了13棵；第二组有一人植了5棵，其他每人都植了10棵，则该单位共有职工人

9如图，已知直线y=与双曲线y=（k＞0）交于ab两点，点B的坐标为（4，2），C为双曲线y=（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC面积为6，则点C的坐标为________

10某广场地面铺满了边长为36cm的正六边形地砖，现在向上抛掷半径为6的圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是________

50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状，现在从前后左右和上面五个方向朝这堆木块喷漆，则有________块木块完全喷不到漆

12满足25{x}+[x]=25的所有实数x的和是________（其中[x]表示不大于x的最大整数，{x}=x[x]表示x的小数部分）

三解答题（共5大题，计72分，写出必要的推算或演算步骤）

13（14分）已知关于x的一元二次方程（a＞0）

（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；

（2）若对于a=1，2，3，…，2024，2024时，相应得到的一元二次方程的两根分别为

试求的值

14（15分）如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CB,对角线AC与BD交于O,∠ACD=60°，点SPQ分别是ODOABC的中点

（1）求证：△PQS是等边三角形；

（2）若AB=8，CD=6，求△PQS的面积；

（3）若△PQS与△AOD的面积比为4：5，求CD:AB的值

15（14分）如图，以锐角△ABC的边AB为直径作半圆⊙O交边BCCA于点EF过点EF分别作⊙O的切线得交点P求证：CP⊥AB

16（14分）据气象台预报，一台风中心位于某沿海城市A东偏南θ（cosθ＝）方向300km的海面B处，正以20km/h的速度向西偏北45°方向移动（如图所示），台风影响的范围为圆形区域，半径为60km，并以10km/h的速度不断增大求几小时后该市开始受到台风的影响，受影响的时间是多长？

17（15分）如图1，AD分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周记顺次连接POD三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示

（1）求AB两点的坐标；

（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式

参考答案

1

2

3

4

5

6

B

B

A

C

C

B

7283210（2，4）12337

13（1）证明略（2）

14（1）连接CS

∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，

∴AO=BO,CO=DO

∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形

∵S是OD的中点，∴CS⊥DO

又SP是△OAD的中位线，∴SP=AD=BC

∴SP=PQ=SQ

故△SPQ为等边三角形

（2）△PQS的面积为

（3）

15证明：如图，连接AEBF得交点Q，

∵∠AEB=∠AFB=90°，

∴点Q为△ABC的垂心，

∴CQ⊥AB①

延长FP到点K，使PK=PF，连接EFKE易知∠PEF=∠PFE=∠EAF

连接PQ并延长交AB于点H，

∵∠EQF=180°∠AQF=180°（90°∠EAF）=90°+∠EAF=90°+∠PEF，

∴∠EQF+∠K=180°

故KFQE四点共圆，

∵PK=PE=PF，

∴P必是该圆的圆心

∴PQ=PF

∴∠PQF=∠PFQ=∠PFB=∠FAB=∠FAH，

∴AHQF四点共圆

则∠PHA=∠QHA=180°∠QFA=90