山东省冠县武训高级中学2024高二数学 12 第3课时 等比数列的前n项和复习导学案 新人教A版.doc

山东省冠县武训高级中学2024高二数学12第3课时等比数列的前n项和复习导学案新人教A版

重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题

难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用

学习方法指导

1等比数列的前n项和公式

（1）设等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为

na1(q=1)

Sn=第3课时等比数列的前n项和

知能目标解读

1掌握等比数列的前n项和公式的推导方法错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和

2掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况

3能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题

(q≠1)

也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论

（2）等比数列{an}中，当已知a1,q(q≠1)，n时，用公式Sn=，当已知a1,q(q≠1)，an时，用公式Sn=

2等比数列前n项和公式的推导

除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导

(1)合比定理法

由等比数列的定义知：==…==q

当q≠1时，=q,即=q

故Sn==

当q=1时，Sn=na1

(2)拆项法

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn2)=a1+qSn1=a1+q(Snan)

当q≠1时，Sn==

当q=1时，Sn=na1

(3)利用关系式SnSn1=an(n≥2)

∵当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an1)=a1+qSn1

∴Sn=a1+q(Snan)

即(1q)Sn=a1(1qn)

当q≠1时，有Sn=,

当q=1时，Sn=na1

注意：

(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧

(2)错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{an·bn}的前n项和

3等比数列前n项和公式的应用

（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量

（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1的讨论

4等比数列前n项和公式与函数的关系

(1)当公比q≠1时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=Aqn+A的形式由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数

当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）

(2)当q≠1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=Aqx+A图像上的一群孤立的点当q=1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点

知能自主梳理

1等比数列前n项和公式

（1）等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn= = ;当q=1时，Sn=

(2)推导等比数列前n项和公式的方法是

2公式特点

（1）若数列{an}的前n项和Sn=p(1qn)(p为常数)，且q≠0,q≠1，则数列{an}为

（2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知 求

［答案］1（1）na1(2)错位相减法

2（1）等比数列（2）三二

思路方法技巧

命题方向等比数列前n项和公式的应用

［例1］设数列｛an｝是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q

［分析］应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论

［解析］当q=1时，S3=3a1=3a

当q≠1时，=3a1q2,

因为a1≠0,所以1q3=3q2(1q),

2q33q2+1=0,(q1)2(2q+1)=0,

解得q=

综上所述，公比q的值是1或

［说明］（1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量

（2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论

（3）等比数列前n项和公式中，当q≠1时，若已知a1,q,n利用Sn=来求；若已知a1,an,q,利用Sn=来求

变式应用1在等比数列{an}中,已知S3=,S6