山东省冠县武训高级中学2024高二数学 23 第2课时角度和物理问题复习导学案 新人教A版.docVIP

山东省冠县武训高级中学2024高二数学23第2课时角度和物理问题复习导学案新人教A版

知能目标解读

1能够运用正弦定理余弦定理等知识和方法求解三角形的实际问题

2学会处理测量角度问题等解三角形的实际问题

3用解三角形的知识，解决有关的实际问题，目的是进一步巩固所学知识，提高分析和解决简单的实际问题的能力动手操作能力以及用数学语言进行交流的能力，增强应用数学的意识，以达到学习数学的目的

重点难点点拨

重点：构建数学模型探求角度测量方法

难点：将实际问题抽象成数学模型

学习方法指导

要测量角的大小，可利用测角仪或通过测量出距离计算角的大小，根据所测出的三角形中的量，运用正余弦定理和三角形中的有关性质计算出所要求的角在计算面积和航海问题中，也都与求角的问题相联系要清楚问题中的角的含义，如方向角方位角仰角俯角等，根据已知线段和角以及要求的角，选择有充分条件的三角形求解

知能自主梳理

1测量角度就是在三角形内利用和求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角

2坡面和水平面的夹角叫做

3坡面的铅直高度与水平宽度之比（如图中的），叫做

［答案］1正弦定理余弦定理

2坡角

3坡比

思路方法技巧

命题方向测量角度问题

［例1］在南海伏季渔中，我渔政船甲在A处观测到一外国偷渔船乙在我船北偏东60°的方向，相距a海里，偷渔船正在向北行驶，若我船速度是渔船速度的倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？

［解析］如图所示，设乙船沿B点向北行驶的速度大小为v,则甲船行驶的速度大小为v,两船相遇的时间为t,则BC=vt,AC=vt，

在△ABC中，∠ABC=120°,AB=a,

由余弦定理，得

AC2=AB2+BC22AB·BC·cos120°,即

3v2t2=a2+v2t2+vat,∴2v2t2vata2=0,解得t1=,t2=(舍去)

∴BC=a,∴∠CAB=30°

即甲船应沿北偏东30°的方向去追赶乙船，在乙船行驶a海里处相遇

［说明］解答此类问题，首先应明确各个角的含义，然后分析题意，分清已知和所求，再根据题意画出正确的示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正余弦定理求解

变式应用1

在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30米，测得塔顶仰角为2θ，再向塔走10米，测得塔顶仰角为4θ，试求角θ的度数

［分析］如图所示，求角θ，必须把角θ2θ4θ和边长3010尽量集中在一个三角形中，利用方程求解

［解析］解法一：∵∠PAB=θ，∠PBC=2θ，

∴∠BPA=θ，∴BP=AB=30，

又∵∠PBC=2θ，∠PCD=4θ，

∴∠BPC=2θ，∴CP=BC=10，

在△BPC中，根据正弦定理得：

，

即=，

∴，

由于sin2θ≠0,∴cos2θ=，

∵0°2θ90°，∴2θ=30°,

∴θ=15°

解法二：在△BPC中，根据余弦定理得：

PC2=PB2+BC22PB·BC·cos2θ

把PC=BC=10，PB=30代入上式得，

300=302+（10）22×30×10cos2θ

化简得：cos2θ=,

∵0°2θ90°，∴2θ=30°,

∴θ=15°

解法三：如下图，过顶点C作CE⊥PB，交PB于E，

∵△BPC为等腰三角形,

∴PE=BE=15,

在Rt△BEC中，

cos2θ=,

∵0°2θ90°,

∴2θ=30°,

∴θ=15°

命题方向与角度有关的问题

［例2］某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海**舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在距A处北偏东45°方向距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿东偏南15°的方向，以9nmile/h的速度向小岛B靠拢，我海**舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间

［分析］根据题意画出图形（如图），由题意知AC=10，设渔轮向小岛B靠近，舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C到B′处相遇，则∠ACB′=120°,利用舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C到B′所用时间相同这一条件，解△AB′C即可

［解析］设舰艇与渔轮相遇所需时间为th，则AB′=21t,

B′C=9t在△AB′C中，根据余弦定理，则有

AB′2=AC2+B′C22AC·B′Ccos120°

可得212t2=102+81t2+2×10×9t×,

整理，得360t290t100=0

∴362t9t10=0,∴(12t+5)(3t2)=0

∴t=或t=(舍去)，

∴舰艇靠近渔轮所需的时间为h

此时AB′=14nmile,B′C=6nmile

由正弦定理，得,则s