计算方法试题集及答案.docVIP

四、计算题：

用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。

答案：迭代格式

k

0

0

0

0

1

2.7500

3.8125

2.5375

2

0.20938

3.1789

3.6805

3

0.24043

2.5997

3.1839

4

0.50420

2.4820

3.7019

1

3

4

5

2

6

5

4

分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值〔保存四位小数〕。

答案：

差商表为

一阶均差

二阶均差

三阶均差

1

2

3

6

2

4

5

-1

-1

5

4

-1

0

4、取步长，用预估-校正法解常微分方程初值问题

答案：解：

即

n

0

1

2

3

4

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1

1.82

5.8796

10.7137

19.4224

35.0279

7、构造求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。

答案：解：令.

且，故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为

那么当时

，

故迭代格式

收敛。取，计算结果列表如下：

n

0

1

2

3

0.5

0.035127872

0.096424785

0.089877325

n

4

5

6

7

0.090595993

0.090517340

0.090525950

0.090525008

且满足.所以.

8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组。

答案：解：

令得，得.

9﹑对方程组

试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；

取初值，利用〔1〕中建立的迭代公式求解，要求。

解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

取,经7步迭代可得：

.

11、用列主元素消元法求解方程组。

解：

回代得。

13、用欧拉方法求

在点处的近似值。

解：等价于

()

记,取,.

那么由欧拉公式

,

可得,

14、给定方程

1)分析该方程存在几个根；

2)用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；

说明所用的迭代格式是收敛的。

解：1〕将方程〔1〕

改写为

〔2〕

作函数，的图形〔略〕知〔2〕有唯一根。

2)将方程〔2〕改写为

构造迭代格式

计算结果列表如下：

k

1

2

3

4

5

6

7

8

9

xk

1.22313

1.29431

1.27409

1.27969

1.27812

1.27856

1.27844

1.27847

1.27846

3)，

当时，，且

所以迭代格式对任意均收敛。

15、用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7,计算三次，保存五位小数。

解：是的正根，，牛顿迭代公式为

，即

取x0=1.7,列表如下：

1

2

3

1.73235

1.73205

1.73205

16、f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式及f(1，5)的近似值，取五位小数。

解：

17、n=3,用复合梯形公式求的近似值〔取四位小数〕,并求误差估计。

解：

，时，

至少有两位有效数字。

18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组=，

取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保存三位小数。

解：Gauss-Seidel迭代格式为：

系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.

取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:

1

1.667

0.889

-2.195

2

2.398

0.867

-2.383

3

2.461

0.359

-2.526

19、用预估—校正法求解(0?x?1)，h=0。2，取两位小数。

解：预估—校正公式为

其中，，h=0.2，，代入上式得：

1

2

3

4

5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.24

1.58

2.04

2.64

3.42

21、〔15分〕用的复化梯形公式〔或复化Simpson公式〕计算时，试用余项估计其误差。用的复化梯形公式〔或复化Simpson公式〕计算出该积分的近似值。

解：

22、〔15分〕方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式〔1〕对应迭代格式；(2)对应迭代格式；〔3〕对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。

解：〔1〕，，故收敛；

〔2〕，，故收敛；

〔3〕，，