高考数学百大经典例题 同角三角函数的基本关系式 试题.pdfVIP

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大经典例题——同角三角函数的根本关系

式

1．某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值．

解∵sinα＜0

∴角α在第三或者第四象限(不可能在y轴的负半轴上)

(2)假设α在第四象限，那么

说明在解决此类问题时，要注意：

(1)尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号．

(2)尽可能地防止使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)．

(3)必要时进展讨论．

例2sinα=m(|m|≤1)，求tgα的值．

(2)当m=±1时，α的终边在y轴上，tgα无意义．

(3)当α在Ⅰ、Ⅳ象限时，∵cosα＞0．

当α在第Ⅱ、Ⅲ象限时，∵cosα＜0，

说明(1)在对角的范围进展讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况．

(2)此题在进展讨论时，为什么以cosα的符号作为分类的HY，而不按sinα的符号(即m的符号)来

分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？

2．三角函数式的化简

三角函数式的化简的结果应满足下述要求：

(1)函数种类尽可能地少．

(2)次数尽可能地低．

(3)项数尽可能地少．

(4)尽可能地不含分母．

(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来．

化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简．

22

例3化简sinα·tgα+cosα·ctgα+2sinαcosα

=secα·cscα

22

解2原式=(sinα·tgα+sinα·cosα)+(cosα·ctgα+sinαcosα)

2222

=tgα·(sinα+cosα)+ctgα(sinα+cosα)

=tgα+ctgα

=secα·cscα

说明(1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进展的．

(2)解2中的逆用公式将sinα·cosα用tgα表示，较为灵敏，解1与解2相比，思路更自然，因

此更实用．

例4化简：

分析将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进展化简．

3．三角恒等式的证明

证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现本质上的同，这

过程，往往是从化简开场的——这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开场．

例5求证cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα．

分析从复杂的左边开场证得右边．

=2cosα-3tgα=右边

例6证明恒等式

2466

(1)1+3sinαsecα+tgα=secα

322

(2)(sinA+secA)+(cosA+cscA)=(1+secAcscA)

分析(1)的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简

6624

证明(1)右边-左边=secα-tgα-3sinαsecα-1

22422224

=(secα-tgα)(secα+secα·tgα+tgα)-3sinαsecα-1

4222

=(secα-2secαtgα+tgα)-1

222

=(secα-tgα)-1=0

∴等式成立．

=sinA+cosA=1故原式成立22

在解题时，要全面地理解“繁〞与“简〞的关系．实际上，将