高考数学总复习教程第14讲 三角形内的三角函数问题.pdfVIP

高考数学总复习教程第14讲三角形内的三角函数问题

一、本讲内容

与三角形有关的三角函数问题，解三角形

二、学习指导：

在三角形这个特定条件下：三角函数问题有哪些变化呢？通性是永远不会改变的，三角函

数的性质，公式等当然继续有效，只是多出了一些特性罢了，例如，P：∠A＞∠B，q：sinA

＞sinB，一般地说，P不是q的充分条件，也不是q的必要条件，但加了“在三角形中”这个

前提后，p是q的充要条件，这是因为：在△ABC中A＞B.q：cosA＜cosB，p既不是q的充分条

件，也不是q的必要条件，但在三角形中，却有A＞BcosA＜cosB，这是因为，三角形内角

不同在（0，π）而余弦函数在其间单调递减等等，那么“在三角形中”给我们增添了一些什么

条件呢？

1．A、B、C、E（0，π），且A+B+C=π.

222

2．a+b+c－2bccosA.

222

b=c+a－2cacosB

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c=a+b－2abcosC

及其特殊情形：勾股定理；

4．a=bcosC+ccosB

b=acosC+ccosA

c=acosB+bcosA

（这个式子叫三角形中的射影定理，其证明见下一讲“平面向量”）

直角三角形中的射影定理.

11

2

5．三角形面积S=ah=absinC=2RsinAsinBsinC

2a2

11

=abc=pr(p=(a+b+c))=p(pa)(pb)(pc)

4R2

（最后一式已称为“海伦公式”）

典型例题讲评

sinBsinC

例1．已知在△ABC中，sinA=，判断它们形状，已知条件是角际关系，我们

cosBcosC

可以利用差化积（使出现B+C）以便利用内角和定理与A挂上钩，（见附录解法一）

我们也可利用正、余弦定理，把已知条件化为边际关系，以便利用勾股定理逆定理或分解

22222

因式，出现a=b，a=b，a+b－c=0等情况

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例2.在锐角△ABC中，p=+.

1tanA1tanB

（1）比较p与1的大小，说明理由.

tanAtanB

（2）求证：p＜+.

1tanA1tanB

条件为什么要“锐角三角”？无非要任一角均为锐角（从而三角函数值为正），任两角的和



为钝角而已.A+B＞.∴A＞－B.左右均为锐角，∴sinA＞(－B)=cosB.同理，sinB＞

222

cosA，这就为我们的大小比较开辟了道路。

1tanA

第（2）小题中用比较法，得等，易知即tan(－A).再此比试处理.

1tanA4