函数的单调性的应用同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

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习题课——函数的单调性的应用

1.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是()

A.13,+

C.13,+

2.已知函数f(x)=12x3+ax+4,则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的(

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)内单调递增,则k的取值范围是()

A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]

C.[2,+∞) D.[1,+∞)

4.（多选题）已知函数f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为f(x),下列说法正确的为()

A.f(x)的单调递减区间是2

B.f(x)的极小值是-15

C.当a2时,对任意的x2,且x≠a,恒有f(x)f(a)+f(a)(x-a)

D.函数f(x)有且只有一个零点

5.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递增区间为(-∞,-1)和(2,+∞),则b=,c=.

6.若函数f(x)=14x+3-kx+lnx在区间[1,2]上单调递增,则实数k

7.若函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)内不单调,则实数k的取值范围是.?

8.已知函数f(x)=ax3+x在R上有三个单调区间,则a的取值范围是.?

9.已知函数f(x)=x2+ax(x≠0,常数a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)内单调递增,求a的取值范围

10.已知函数f(x)=x3-ax-1.

(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.

(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(-1,1)内单调递减?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

参考答案

1.C

解析:由单调性可知函数的导数在R上恒非负或恒非正,且不恒等于0.当y=3x2+2x+m≥0对所有x∈R成立时,此时应满足Δ=4-4×3m≤0,解得m≥13

因为30,所以抛物线y=3x2+2x+m开口向上,

所以y≤0不可能恒成立.

因此满足条件的m的取值范围是13

2.A

解析:f(x)=32x2+a,当a0时,f(x)0在R上恒成立

所以当a0时,函数f(x)在R上单调递增.

若函数f(x)在R上单调递增,则f(x)=32x2+a≥0在R上恒成立,即a≥-32x2恒成立,从而a≥

故“a0”是“函数f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.

3.D

解析:因为f(x)=kx-lnx,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=k-1x

因为函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,所以当x1时,f(x)=k-1x≥0恒成立,即k≥1x在区间(1,+∞)

因为x1,所以01x1,所以k≥1.故选D

4.BD

5.-32-6

解析:f(x)=3x2+2bx+c,由题意知x-1或x2是不等式3x2+2bx+c0的解集,即-1,2是方程3x2+2bx+c=0的两个根,则-1+2=-2b3,-1×2=c3,解得b=-32

6.7

解析:∵函数f(x)=14x+3-kx+lnx

∴f(x)=14+k-3x2+1x≥0在区间[1,2]上恒成立,∴k≥-1

设g(x)=-14x2-x+3,则函数g(x)图象的对称轴为直线x=-

∴g(x)=-14x2-x+3在区间[1,2]上单调递减

∴在区间[1,2]上,g(x)max=-14-1+3=7

∴k≥74

7.(3,27)

解析:f(x)=3x2-k,当k≤0时,对x∈R,不等式f(x)≥0恒成立,

则f(x)在R上单调递增,不符合题意,所以k0.

令f(x)=0,得x=±k3

因为函数f(x)在区间(-3,-1)内不单调,所以-3-k3-1,即3k27

8.(-∞,0)

解析:f(x)的导数f(x)=3ax2+1.

若a0,则f(x)0对x∈R恒成立,此时,f(x)只有一个单调区间,与已知矛盾;

若a=0,则f(x)=x,此时,f(x)也只有一个单调区间,亦与已知矛盾;

若a0,则f(x)=3a·x+1-3a·x-1-3a,f(x)

9.解:f(x)=2x-ax

若函数f(x)在区间[2,+∞)内单调递增,则f(x)≥0当x∈[2,+∞)时恒成立,即2x3-a≥0当x∈[2,+∞)时恒成立,

∴a≤2x3当x∈[2,+∞)时恒成立.

∵y=2x3在区间[2,+∞)内单调递增,

∴(2x3)min=16.∴a≤16.

当a=16时,只有f(2)=0.

∴a的取值范围是(-∞,16].

10.解:(1)由已知得f(x)=3x2-a.

∵函数f(x)在R上单调递增,∴f(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.

∵3x2≥0,∴a≤0.

∴实数a的取值范围是(-∞,0].

(2)存在.证