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中国科学院三州分院中学2024届高三年级模拟考试（一）数学试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．数列满足，且，，则（）

A． B．9 C． D．7

2．在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设，是非零向量，若对于任意的，都有成立，则

A． B． C． D．

4．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）

A．1 B．2 C． D．4

5．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是()

A．18种 B．36种 C．54种 D．72种

6．设函数在定义城内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）

A． B．

C． D．

7．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，

A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,2

8．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（）

A． B． C． D．

9．已知平面向量，，满足：，，则的最小值为()

A．5 B．6 C．7 D．8

10．已知正四面体外接球的体积为，则这个四面体的表面积为（）

A． B． C． D．

11．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于()

A． B． C． D．

12．已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（）．

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）在长方体中，已知棱长，体对角线，两异面直线与所成的角为，则该长方体的表面积是____________．

14．已知两动点在椭圆上，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________．

15．在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为，函数的图象经过该三角形的三个顶点，则的解析式为___________.

16．在平面直角坐标系中，圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和，其中与圆相交于，两点，与圆相切于点.若，则直线的斜率为_____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)证明：()；

(Ⅲ)证明：.

18．（12分）已知数列为公差不为零的等差数列，是数列的前项和，且、、成等比数列，.设数列的前项和为，且满足.

（1）求数列、的通项公式；

（2）令，证明：.

19．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；

（2）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值．

20．（12分）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.

21．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）和曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线和曲线的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，已知点是射线与直线的公共点，点是与曲线的公共点，求的最大值．

22．（10分）已知函数.

（1）求的极值；

（2）若，且，证明：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

先由题意可得数列为等差数列，再根据，，可求出公差，即可求出．

【详解】

数列满足，则数列为等差数列，

，，

，，

，

，

故选：．

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．

2、D

【解析】

将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.

【详解】

，对应的点位于第四象限.

故选:.

【点睛】

本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.

3、D

【解析】