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热点02二次函数图像与系数a,b,c之间关系
二次函数图像与性质是四川成都中考数学的必考考点,常见以选填的形式,主要是函数与其系数之间关系等问题,一般出现在中考的第8题,以简单题为主,思路相对比较固定,但除了常规考法以外,日常练习中多注意新颖题目的考向。
【题型1图像与系数之间关系】
满分技巧
与图像与系数之间关系有关问题的解题策略
1、二次函数各项系数的正负判断,特殊点取值,函数与方程不等式之间关系要掌握.
2、二次函数对称性,代数式之间整体的代换思路需要熟练.
【例1】(2022·四川成都·统考中考真题)如图,二次函数的图像与轴相交于,两点,对称轴是直线,下列说法正确的是(????)
A. B.当时,的值随值的增大而增大
C.点的坐标为 D.
【答案】D
【分析】结合二次函数图像与性质,根据条件与图像,逐项判定即可.
【详解】解:A、根据图像可知抛物线开口向下,即,故该选项不符合题意;
B、根据图像开口向下,对称轴为,当,随的增大而减小;当,随的增大而增大,故当时,随的增大而增大;当,随的增大而减小,故该选项不符合题意;
C、根据二次函数的图像与轴相交于,两点,对称轴是直线,可得对称轴,解得,即,故该选项不符合题意;
D、根据可知,当时,,故该选项符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质,根据图像得到抛物线开口向下,根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键.
【变式1-1】(2021·四川成都·统考一模)二次函数的图象如图,下列结论:①;②;③;④.其中正确的有(????)
A.1个 B.3个 C.2个 D.4个
【答案】C
【分析】根据二次函数图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点即可求解.
【详解】解:①由图可得,∵抛物线开口向下,
,
故①正确;
②∵该抛物线的对称轴,
,
故②正确;
③∵抛物线与x轴的交点有2个,
,
故③不正确;
④由图可得,当时,,
,
故④不正确;
综上所述,正确的个数是2个,
故选:C.
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数与坐标轴的交点等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
【变式1-2】(2024·四川凉山·统考模拟预测)二次函数的图象如图所示,其对称轴为直线,与x轴的其中一个交点在与之间,以下结论错误的是(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键.
由抛物线开口向上判断a的符号;由抛物线与y轴的交点判断c的符号;由抛物线的对称轴及抛物线与x轴的交点情况,判断b的符号;分别观察,,时的函数值对所得结论进行判断即可.
【详解】抛物线开口向上,
;
抛物线的对称轴为直线,
,
,,
抛物线与y轴的交点在x轴的下方,
,
,故A选项正确,不符合题意;
,故B选项正确,不符合题意;
抛物线对称轴为直线,与x轴的其中一个交点在与之间,
抛物线与x轴的另一个交点在与之间,
当时,,则,
当时,,则,
,
,故C选项正确,不符合题意;
当时,,,
,
,故D选项错误,符合题意;
故选:D
【变式1-3】(2023·四川广安·统考一模)如图,直线与抛物线交于A,B两点,且点A的横坐标是-2,点B的横坐标是3,则以下结论:①,;②当时,直线与抛物线的函数值都随着x的增大而增大;③的长度可以等于5;④连接,,有可能是等边三角形;⑤当时,,其中正确的结论是(????)
A.①②③ B.①②⑤ C.②③④ D.①②④⑤
【答案】B
【分析】①由抛物线的开口向上,一次函数与轴的交点位置,即可判断;②观察图象,即可判断;③由点A的横坐标是-2,点B的横坐标是3,若,可得出直线与轴平行,即可判断;④若,可得直线与轴平行,即可判断;⑤直线与关于轴对称,结合图象即可判断.
【详解】解:①抛物线的开口向上,
,
一次函数与轴的交点在轴的正半轴,
,
故①正确;
②由图象得,
一次函数的函数值都随着x的增大而增大;
抛物线的对称轴为轴,,
当时,抛物线的函数值都随着x的增大而增大;
故②正确;
③点A的横坐标是-2,点B的横坐标是3,
若,可得出直线与轴平行,
即,
与已知矛盾,
故不可能为,
故③不正确;
④若,
直线与轴平行,
即,与已知矛盾,
,
即不可能为等边三角形,
故④不正确;
⑤直线与关于轴对称,如图所示:
直线与抛物线交点C、D横坐标分别为,,
由图象可得:当时,
,
即
故⑤正确;
综上所述:正确的结论是:①②⑤;
故选:B.
【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组),二次函数图象与系数的关系,等边三角形的判定与性质,掌握二次函数与不等式(组),以及二次函数图象与系数的关系,用数形结合思想求解是解题的关键.
【变式1-4】(20
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